【C++深度探索】AVL树的底层实现机制

🔥 个人主页：大耳朵土土垚🔥 所属专栏：C++从入门至进阶
这里将会不定期更新有关C/C++的内容，欢迎大家点赞，收藏，评论🥳🥳🎉🎉🎉

前言

  AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树.一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1).接下来我们继续学习AVL树底层实现的部分机制.

文章目录

• 前言
• 1.AVL树结构
• 2.AVL树的插入
• • ✨左单旋
  • ✨右单旋
  • ✨右左双旋
  • ✨左右双旋
• 3.中序遍历
• 4. AVL树的验证
• 5.验证用例
• 6.结语

1.AVL树结构

//AVL树节点类 template<class K, class V> struct AVLTreeNode { 	pair<K, V> _kv; 	AVLTreeNode<K, V>* _pLeft; 	AVLTreeNode<K, V>* _pRight; 	AVLTreeNode<K, V>* _pParent; 	int _bf; // balance factor  	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) 		:_kv(kv) 		, _pLeft(nullptr) 		, _pRight(nullptr) 		, _pParent(nullptr) 		, _bf(0) 	{} };  // AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制 template<class K,class V> class AVLTree { 	typedef AVLTreeNode<K,V> Node; public: 	AVLTree() 		: _pRoot(nullptr) 	{}  	// 在AVL树中插入值为kv的节点 	bool Insert(const pair<K, V>& kv); 	//中序遍历 	void InOrder() 	{ 		_InOrder(_pRoot); 	} 	//判断是否是平衡树 	bool IsBalanceTree() 	{ 	//嵌套一层函数 		return _IsBalanceTree(_pRoot); 	} 	 	 private: 	bool _IsBalanceTree(Node* pRoot); 	int _Height(Node* pRoot); 	void _InOrder(Node* root); 	// 右单旋 	void RotateR(Node* parent); 	// 左单旋 	void RotateL(Node* parent); 	// 右左双旋 	void RotateRL(Node* parent); 	// 左右双旋 	void RotateLR(Node* parent) 

2.AVL树的插入

AVL树的插入过程可以分为两步：

• 按照二叉搜索树的方式插入新节点
• 调整节点的平衡因子

在插入新节点之后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性。

如下图所示：

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

• 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可，如上图所示
• 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时，pParent的平衡因子也可能有三种情况：0，正负1， 正负2

• 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，如上图所示；
• 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0（不可能是2，因为这样没插入新节点前该树就已经不平衡了），插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新，如下图所示：

AVL树插入新节点90之后，pParent也就是80节点的平衡因子就需要更新为1，继续往上更新，直到60节点的平衡因子被更新为2，说明不符合AVL树的性质，就需要进行旋转来维持平衡。

• 如果更新后pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理，如上图所示

所以对于AVL树插入新节点来说，我们需要更新插入后由于左右子树高度差改变带来的新的平衡因子，然后根据平衡因子是否大于1或小于-1来判断AVL树是否平衡，如果不平衡我们就必须通过旋转来维持平衡，代码如下：

	// 在AVL树中插入值为kv的节点 	bool Insert(const pair<K, V>& kv) 	{ 		//1.先构造新节点 		Node* newnode = new Node(kv); 		Node* cur = _pRoot; 		 		//2.判断插入位置 		if (cur == nullptr) 		{ 			//如果树为空 			_pRoot = newnode; 			return true; 		} 		//如果AVL树不为空，找到插入位置 		Node* parent = cur->_pParent; 		while (cur) 		{	 			if (cur->_kv.first > kv.first) 			{ 				parent = cur; 				cur = cur->_pLeft; 			} 			else if (cur->_kv.first < kv.first) 			{ 				parent = cur; 				cur = cur->_pRight; 			} 			//找到相同节点，AVL树不能插入相同节点 			else 			{ 				return false; 			} 		} 		 		//3.插入节点 		//先判断是插入左边还是右边 		if (parent->_kv.first > kv.first) 		{ 			//插入左边 			parent->_pLeft = newnode;		 		} 		else 		{ 			//插入右边 			parent->_pRight = newnode; 		} 		newnode->_pParent = parent; 		cur = newnode; 		//4.更新平衡因子 		while (parent) 		{ 			if (parent->_pLeft == cur) 				parent->_bf--; 			else 				parent->_bf++;  			// 更新后检测双亲的平衡因子 			if (parent->_bf == 0) 			{ 				break; 			} 			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) 			{ 				//平衡因子需要继续往上更新 				cur = parent; 				parent = parent->_pParent; 			} 			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) 			{ 				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) 				{ 					//左边高进行右单旋 					RotateR(parent); 				} 				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) 				{ 					//右边高进行左单旋 					RotateL(parent); 				} 				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) 				{ 					RotateRL(parent); 				} 				else//(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) 				{ 					RotateLR(parent); 				} 				break; 			} 			else 			{ 				//其他情况，断言报错 				assert(false); 			} 		} 		return true; 	} 

这里要注意AVL树不能插入相同节点

AVL树插入新节点的逻辑结构如上述代码所示，如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：那么我们具体来看看AVL树旋转的实现：

✨左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

parent和cur的平衡因子经过旋转之后变为0，维持了AVL树的平衡。

代码如下：

// 左单旋 void RotateL(Node* parent) { 	Node* cur = parent->_pRight;  	//将cur的左边给parent的右边，cur的左边再指向parent 	parent->_pRight = cur->_pLeft; 	cur->_pLeft = parent;  	//链接cur与parent的父节点 	if (parent->_pParent == nullptr) 	{ 		//如果pParent是根节点 		cur->_pParent = nullptr; 		_pRoot = cur; 	} 	else if (parent->_pParent->_pLeft == parent) 		parent->_pParent->_pLeft = cur; 	else 		parent->_pParent->_pRight = cur;   	//更新父节点 	cur->_pParent = parent->_pParent; 	parent->_pParent = cur; 	if(parent->_pRight)//判断pParent的右边是否存在 		parent->_pRight->_pParent = parent;  	//更新平衡因子 	parent->_bf = 0; 	cur->_bf = 0; } 

✨右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

代码如下：

	// 右单旋 	void RotateR(Node* parent) 	{ 		Node* cur = parent->_pLeft;  		//将cur的右边给pParent的左边，cur的右边再指向pParent 		parent->_pLeft = cur->_pRight; 		cur->_pRight = parent; 		 		//链接cur与pParent的父节点 		if (parent->_pParent == nullptr) 		{ 			//如果pParent是根节点 			cur->_pParent = nullptr; 			_pRoot = cur; 		} 		else if (parent->_pParent->_pLeft == parent) 			parent->_pParent->_pLeft = cur; 		else 			parent->_pParent->_pRight = cur;   		//更新父节点 		cur->_pParent = parent->_pParent; 		parent->_pParent = cur; 		if (parent->_pLeft) 		parent->_pLeft->_pParent = parent;  		//更新平衡因子 		parent->_bf = 0; 		cur->_bf = 0;  	} 

✨右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋，借助上面实现的右单旋和左单旋即可

如下图所示，较高右子树(以cur节点为根节点的树)的左侧(以child节点为根节点的树），插入节点，注意这里可以插入child的左侧或右侧，只要插入在child的子树上即可，所以可以是下图中的b或c，这里选择b：

前文我们说过只要插入在child的子树上即可，所以可以是上图中的b或c，这里选择b，那么如果是c的话，还是需要进行左右双旋，与选b的区别在于平衡因子的不同，这里可以根据具体选择分析出来，所以在双旋之后记得根据不同的插入位置更新不同的平衡因子。

代码如下：

// 右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { 	Node* cur = parent->_pRight; 	Node* child = cur->_pLeft;  	//旋转前保存child的平衡因子 	int bf = child->_bf;  	//cur的左边高，先右旋 	RotateR(cur); 	//再左旋 	RotateL(parent);  	//根据不同插入位置更新不同的平衡因子 	if (bf == -1)//插入在b 	{ 		cur->_bf = 1; 	} 	else if (bf == 1)//插入在c 	{ 		parent->_bf = -1; 	} } 

✨左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋，借助上面实现的右单旋和左单旋即可

如下图所示，左右双旋与右左双旋类似，也可以插入在下图中的b或从，旋转方式一样，不影响，就是最后平衡因子需要根据插入的位置更新：

代码如下：

// 左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { 	Node* cur = parent->_pLeft; 	Node* child = cur->_pRight;  	//旋转前保存child的平衡因子 	int bf = child->_bf;  	//cur的右边高，先左旋 	RotateL(cur); 	//再右旋 	RotateR(parent);  	//根据不同插入位置更新不同的平衡因子 	if (bf == -1)//b 	{ 		parent->_bf = 1; 	} 	else if (bf == 1)//c 	{ 		cur->_bf = -1; 	} }  

小结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为cur
   当cur的平衡因子为1时，执行左单旋
   当cur的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为cur
   当cur的平衡因子为-1是，执行右单旋
   当cur的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

3.中序遍历

  AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树，其中序遍历和我们之前实现过的二叉搜索树一样。

代码如下：

//中序遍历 void InOrder() { 	_InOrder(_pRoot); }   void _InOrder(Node* root) { 	if (root == nullptr) 	{ 		return; 	} 	_InOrder(root->_pLeft); 	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; 	_InOrder(root->_pRight);  } 

4. AVL树的验证

  AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

• 验证其是否为二叉搜索树：
  如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
• 验证其是否为平衡树：
  每个节点子树高度差的绝对值不超过1
  对于验证是否是平衡树，代码如下：

bool IsBalanceTree() { //嵌套一层函数 	return _IsBalanceTree(_pRoot); } bool _IsBalanceTree(Node* pRoot) { 	// 空树也是AVL树 	if (nullptr == pRoot) return true;  	// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差 	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft); 	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight); 	int diff = rightHeight - leftHeight;  	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树 	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1)) 		return false;  	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树 	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot - 	> _pRight); }  //求树的高度 size_t _Height(Node* pRoot) { 	if (pRoot == nullptr) 		return 0; 	size_t left = _Height(pRoot->_pLeft); 	size_t right = _Height(pRoot->_pRight);  	return (left >= right ? left : right) + 1; } 

计算pRoot节点的平衡因子：即计算pRoot左右子树的高度差，我们利用递归实现即可。计算是否为平衡树因为是递归需要传递根节点，但是我们在使用时并不能获取根节点，所以需要嵌套一层函数。

5.验证用例

void TestAVLTree() { 	AVLTree<int, int> t; 	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//用例1 	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };//用例2 	for (auto e : a) 	{ 		t.Insert({ e, e }); 	} 	cout <<"是否是平衡树："<< t.IsBalanceTree() << endl; 	t.InOrder();  } 

结果如下：

6.结语

  因为AVL树也是二叉搜索树，其他的类似查找节点，析构函数和构造函数都与二叉搜索树类似，对于删除节点，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，最差情况下一直要调整到根节点的位置，大家有兴趣可以自己查找了解一下，以上就是今天所有的内容啦~ 完结撒花 ~🥳🎉🎉