使用Floyd算法求解两点间最短距离

Floyd算法

Floyd算法又称为Floyd-Warshell算法，其实Warshell算法是离散数学中求传递闭包的算法，两者的思想是一致的。Floyd算法是求解多源最短路时通常选用的算法，经过一次算法即可求出任意两点之间的最短距离，并且可以处理有负权边的情况（但无法处理负权环），算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，空间复杂度是$O(n^2)$。

import numpy as np   def floyd(adjacent_matrix, source, target):    """    :param adjacent_matrix: 图邻接矩阵    :param source:  起点    :param target:  终点    :return: shortest_path    """    num_node = len(adjacent_matrix)     # 计算    """    矩阵D记录顶点间的最小路径    例如D[0][3]= 10，说明顶点0 到 3 的最短路径为10；    矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点    例如P[0][3]= 1 说明，0 到 3的最短路径轨迹为：0 -> 1 -> 3。    """    distance = np.zeros(shape=(num_node, num_node), dtype=np.int_)    path = np.zeros(shape=(num_node, num_node), dtype=np.int_)    for v in range(num_node):        for w in range(num_node):            distance[v][w] = adjacent_matrix[v][w]            path[v][w] = w     # 弗洛伊德算法的核心部分    for k in range(num_node):  # k为中间点        for v in range(num_node):  # v 为起点            for w in range(num_node):  # w为起点                if distance[v][w] > (distance[v][k] + distance[k][w]):                    distance[v][w] = distance[v][k] + distance[k][w]                    path[v][w] = path[v][k]     print(np.asarray(path))    shortest_path = [source]    k = path[source][target]    while k != target:        shortest_path.append(k)        k = path[k][target]    shortest_path.append(target)    return shortest_path   if __name__ == "__main__":    M = 1e6    adjacent_matrix = [        [0, 12, M, M, M, 16, 14],        [12, 0, 10, M, M, 7, M],        [M, 10, 0, 3, 5, 6, M],        [M, M, 3, 0, 4, M, M],        [M, M, 5, 4, 0, 2, 8],        [16, 7, 6, M, 2, 0, 9],        [14, M, M, M, 8, 9, 0],    ]    shortest_path = floyd(adjacent_matrix, 0, 3)    print(shortest_path)    # [0, 6, 3, M, M, M],    # [6, 0, 2, 5, M, M],    # [3, 2, 0, 3, 4, M],    # [M, 5, 3, 0, 5, 3],    # [M, M, 4, 5, 0, 5],    # [M, M, M, 3, 5, 0] 

适应场景

Floyd-Warshall算法由于其 $O(n^3)$的时间复杂度，适用于节点数比较少且图比较稠密的情况。对于边数较少的稀疏图，使用基于边的算法（如Dijkstra或Bellman-Ford）通常会更高效。