数论第四节：二元一次不定方程、勾股数

不定方程定义

解不确定的方程称为不定方程。一般化的定义为：不定方程是指未知数的个数多余方程的个数，或未知数受到某种限制（如整数、正整数等）的方程和方程组。

二元一次不定方程定义

形如ax+by=c的形式的方程。其中a,b不等于0，且a,b,c为整数。

定理

定理1

方程$ax+by=c$有解的充要条件是$（a,b）|c$。
证明：
设方程有解x’,y’，则有ax’+by’=c；
因为（a,b）|a,（a,b）|b，所以（a,b）|c。
反之亦然。

定理2（二元一次方程有解的情况下解的结构）

设$x_0，y_0$是方程组的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可以表示为

其中，$a_1,b_1$表示如下：

证明：
由$x_0,y_0$是方程组的特解，为了求基础解系，所以可以将方程表示为 齐次线性 的形式如下：
$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$
即：
$$a_1(x-x_0)=-b_1(y-y_0)$$，可得$$a_1|b_1(y-y_0)$$
因为$(a_1,b_1)=1$（可以用反证法证明，这里证明留给读者），所以$a_1|(y-y_0)$
令$a_{1}t=(y-y_0)$，可得$y=a_{1}t+y_0$。

例题

例1：(直接法：凑特解)

解不定返程$9x+21y=144$
1、判断有无解
由定理1，(9,21)=3，且3|144可知，方程有解。
2、化简方程
两边同除(9,21)，得方程如下：
$$3x+7y=48$$。
考虑$3x+7y=1$，解得x=-2,y=1。
3、求出解
特解为x=-96，y=48。由定,2可求得$a_1,b_1$的值为3,7。
所以方程的解为$x=-96+7t，y=48-3t，t\in Z$。

例2：(整数分离法：特解不好凑的情况)

核心思想： 通过将分式设为未知量，简化原式。找到x,y之间的联系，将x，y的联系表示为f(t)的形式。然后就可以将通解表示为t的形式。

例三：（公式法：采用递归的方式实现，适合写代码）

勾股数定义

由勾股定理进行推广，形如$x^2+y^2=z^2$的形式。为一种特殊形式的二次不定方程 。

引理

不定方程
$$u\ast v=w^2,w>0,u>0,v>0,(u,v)=1$$
的一切正整数解可以写成公式
$$u=a^2,v=b^2,w=ab,a>0,b>0,(a,b)=1$$

定理

定理1（勾股定理解的一般形式）

不定方程$x^2+y^2=z^2$的使用条件：
$$x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,且2|x$$
的一切正整数解可以用下列公式表示出来：
$$x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2$$
$$s.t.a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶$$
这样，就得到了勾股定理的一般表示。

例题

上面的定理有点抽象，不好理解，做一题来巩固下。
求不定方程
$$x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0$$
的一切正整数解的公式。
** 解：**
$3y^2=z^2-x^2=(z-x)(z+x)$
不妨设$x$为偶数，$y$是奇数，则$z$是奇数。
然后由引理$w^2=uv$，想证明u=(z-x)与v=(z+x)互质，就可以得到一般式。
具体的证明过程留到习题课。