数论第四节:二元一次不定方程、勾股数

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作者
筋斗云
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不定方程定义

解不确定的方程称为不定方程。一般化的定义为:不定方程是指未知数的个数多余方程的个数,或未知数受到某种限制(如整数、正整数等)的方程和方程组。

二元一次不定方程定义

形如ax+by=c的形式的方程。其中a,b不等于0,且a,b,c为整数。

定理

定理1

方程 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c有解的充要条件是 ( a , b ) ∣ c (a,b)|c a,bc
证明:
设方程有解x’,y’,则有ax’+by’=c;
因为(a,b)|a,(a,b)|b,所以(a,b)|c。
反之亦然。

定理2(二元一次方程有解的情况下解的结构)

x 0 , y 0 x_0,y_0 x0y0是方程组的一组解,则不定方程有无穷解,其一切解可以表示为
在这里插入图片描述
其中, a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1表示如下:
在这里插入图片描述
证明
x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0是方程组的特解,为了求基础解系,所以可以将方程表示为 齐次线性 的形式如下:
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0 a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 a(xx0)+b(yy0)=0
即:
a 1 ( x − x 0 ) = − b 1 ( y − y 0 ) a_1(x-x_0)=-b_1(y-y_0) a1(xx0)=b1(yy0),可得 a 1 ∣ b 1 ( y − y 0 ) a_1|b_1(y-y_0) a1b1(yy0)
因为 ( a 1 , b 1 ) = 1 (a_1,b_1)=1 (a1,b1)=1(可以用反证法证明,这里证明留给读者),所以 a 1 ∣ ( y − y 0 ) a_1|(y-y_0) a1(yy0)
a 1 t = ( y − y 0 ) a_1t=(y-y_0) a1t=(yy0),可得 y = a 1 t + y 0 y=a_1t+y_0 y=a1t+y0

例题

例1:(直接法:凑特解)

解不定返程 9 x + 21 y = 144 9x+21y=144 9x+21y=144
1、判断有无解
由定理1,(9,21)=3,且3|144可知,方程有解。
2、化简方程
两边同除(9,21),得方程如下:
3 x + 7 y = 48 3x+7y=48 3x+7y=48
考虑 3 x + 7 y = 1 3x+7y=1 3x+7y=1,解得x=-2,y=1。
3、求出解
特解为x=-96,y=48。由定,2可求得 a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1的值为3,7。
所以方程的解为 x = − 96 + 7 t , y = 48 − 3 t , t ∈ Z x=-96+7t,y=48-3t,t∈Z x=96+7ty=483ttZ

例2:(整数分离法:特解不好凑的情况)

核心思想: 通过将分式设为未知量,简化原式。找到x,y之间的联系,将x,y的联系表示为f(t)的形式。然后就可以将通解表示为t的形式。
在这里插入图片描述

例三:(公式法:采用递归的方式实现,适合写代码)

在这里插入图片描述

勾股数定义

由勾股定理进行推广,形如 x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2的形式。为一种特殊形式的二次不定方程

引理

不定方程
u ∗ v = w 2 , w > 0 , u > 0 , v > 0 , ( u , v ) = 1 u*v=w^2,w>0,u>0,v>0,(u,v)=1 uv=w2,w>0,u>0,v>0,(u,v)=1
的一切正整数解可以写成公式
u = a 2 , v = b 2 , w = a b , a > 0 , b > 0 , ( a , b ) = 1 u=a^2,v=b^2,w=ab,a>0,b>0,(a,b)=1 u=a2,v=b2,w=ab,a>0,b>0,(a,b)=1

定理

定理1(勾股定理解的一般形式)

不定方程 x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2的使用条件:
x > 0 , y > 0 , z > 0 , ( x , y ) = 1 , 且 2 ∣ x x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,且2|x x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2∣x
的一切正整数解可以用下列公式表示出来:
x = 2 a b , y = a 2 − b 2 , z = a 2 + b 2 x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2 x=2ab,y=a2b2,z=a2+b2
s . t . a > b > 0 , ( a , b ) = 1 , a , b 一奇一偶 s.t. a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶 s.t.a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶
这样,就得到了勾股定理的一般表示。

例题

上面的定理有点抽象,不好理解,做一题来巩固下。
求不定方程
x 2 + 3 y 2 = z 2 , ( x , y ) = 1 , x > 0 , y > 0 , z > 0 x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0 x2+3y2=z2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0
的一切正整数解的公式。
** 解:**
3 y 2 = z 2 − x 2 = ( z − x ) ( z + x ) 3y^2=z^2-x^2=(z-x)(z+x) 3y2=z2x2=(zx)(z+x)
不妨设 x x x为偶数, y y y是奇数,则 z z z是奇数。
然后由引理 w 2 = u v w^2=uv w2=uv,想证明u=(z-x)与v=(z+x)互质,就可以得到一般式。
具体的证明过程留到习题课。

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