一六一、了解笛卡尔积定义和运算规则&go实现计算多个集合的笛卡尔积

笛卡尔积是数学中两个集合之间的运算，其结果是所有可能的有序对组合。形式上，给定两个集合 ( A ) 和 ( B )，它们的笛卡尔积 ( A \times B ) 定义为：

A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}

即，笛卡尔积中的元素是所有可能的由 ( A ) 中的元素和 ( B ) 中的元素组成的有序对。

运算规则

1. 有序性：笛卡尔积中的元素是有序对，这意味着对 ((a, b)) 和 ((b, a)) 而言，如果 ( a \neq b )，那么 ((a, b) \neq (b, a))。
2. 元素唯一性：每个有序对的元素来自各自的集合，不重复计算。
3. 空集情况：若 ( A ) 或 ( B ) 中有一个为空集，则 ( A \times B = \emptyset )。

例子

例子1：
设 ( A = {1, 2} ) 和 ( B = {a, b, c} )。
那么，笛卡尔积 ( A \times B ) 为：

A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

例子2：
设 ( A = {x, y} ) 和 ( B = \emptyset )。
那么，笛卡尔积 ( A \times B ) 为：

A×B=∅

因为 ( B ) 是空集，所以没有与 ( A ) 中元素配对的元素，结果也是空集。

例子3：
设 ( A = {1} ) 和 ( B = {2, 3} )。
那么，笛卡尔积 ( A \times B ) 为：

A×B={(1,2),(1,3)}

这些例子展示了笛卡尔积的基本计算方式和结果的形式。

go实现计算多个集合的笛卡尔积

示例调用

package main  import ( 	"fmt" )  func Cartesian(sets ...[]any) [][]any { 	length := func(i int) int { return len(sets[i]) } 	nextIndex := func(ix []int, length func(idx int) int) { 		for i := len(ix) - 1; i >= 0; i-- { 			ix[i]++ 			if i == 0 || ix[i] < length(i) { 				return 			} 			ix[i] = 0 		} 	} 	var result [][]any 	for ix := make([]int, len(sets)); ix[0] < length(0); nextIndex(ix, length) { 		var r []any 		for i, j := range ix { 			r = append(r, sets[i][j]) 		} 		result = append(result, r) 	} 	return result }  func main() { 	set1 := []any{1, 2} 	set2 := []any{"a", "b", "c"} 	set3 := []any{true, false}  	result := Cartesian(set1, set2, set3)  	for _, combo := range result { 		fmt.Println(combo) 	} } 

输出结果

[1 a true] [1 a false] [1 b true] [1 b false] [1 c true] [1 c false] [2 a true] [2 a false] [2 b true] [2 b false] [2 c true] [2 c false] 

在这个例子中，Cartesian 函数计算了集合 {1, 2}、{"a", "b", "c"} 和 {true, false} 的笛卡尔积，返回了所有可能的组合。

代码解释

1. 参数和返回值：

   • sets ...[]any：可变参数，表示多个集合，每个集合是一个任意类型的切片。
   • 返回值 [][]any：返回一个二维切片，每个元素是一个有序对的组合。

2. 内部函数 length：

   • 定义为 func(i int) int { return len(sets[i]) }，用于获取第 i 个集合的长度。

3. 内部函数 nextIndex：

   • 接受一个索引数组 ix 和一个获取长度的函数 length。
   • 它的作用是将索引数组 ix 的元素逐一增加，以生成下一个组合。
   • 如果当前索引超出集合长度，则重置当前索引并增加前一个集合的索引。

4. 主循环：

   • 初始化索引数组 ix，其长度与输入的集合数量相同，初始值为 [0, 0, ..., 0]。
   • 使用 for 循环遍历所有可能的组合，直到第一个集合的所有元素都遍历完为止。
   • 内循环 for i, j := range ix 用于构建当前组合 r。
   • 将当前组合 r 添加到 result 切片中。

5. 返回结果：

   • 返回包含所有可能组合的 result。