向量空间简介

向量空间

定义1

向量空间是一个集合$V$，该集合的元素都是向量，定义了加法和标量乘法，则向量空间满足：

• 集合$V$对加法运算封闭，即集合$V$中的任意向量$P$和$Q$，它们的和$P+Q$也是集合$V$的向量
• 集合$V$对标量乘法运算封闭，即对于任意实数$a$和集合$V$中的任意向量$P$，它们的积$aP$也是集合$V$的向量
• 集合$V$中存在0向量，即对于集合$V$中的任意向量$P$，有$P+0=0+P=P$成立
• 对于集合$V$中的任意向量$P$，在集合$V$中存在向量$Q$，使$P+Q=0$
• 集合$V$中的向量满足结合律，即对于集合$V$中的任意向量$P$，$Q$和$R$，$(P+Q)+R=P+(Q+R)$成立
• 标量乘法满足结合律，即对于任意实数$a$和$b$，以及集合$V$中的任意向量$P$，$abP=a(bP)$成立
• 标量与向量和的乘法满足分配律，即对于任意实数$a$，以及集合$V$中的任意向量$P$和$Q$，$a(P+Q)=aP+aQ$成立
• 标量和与向量的乘法满足分配律，即对于任意实数$a$和$b$，以及集合$V$中的任意向量$P$，$(a+b)P=aP+bP$成立

定义2

对于含有$n$个向量的集合$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，如果不存在不全为0的数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，使等式
$$a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n=0$$
成立，则称向量集合线性无关，否则称为线性相关

一个$n$维向量空间可以由$n$个线性无关向量的集合生成，生成向量空间的线性无关向量的集合称为线性空间的基

定义3

向量空间$V$的基$\mathcal{B}$是$n$个线性无关向量的集合，$\mathcal{B}=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，对于向量空间中的任意向量$P$，存在一组实数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，使
$$P=a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n$$
成立

一个$n$维向量空间有无穷多个基，每个基中有且仅有$n$个向量

定义4

向量空间的基$\mathcal{B}$中，如果任意两个向量$e_i$和$e_j$，$i\ne j$，且$e_i\cdot e_j=0$，则基$\mathcal{B}$称为向量空间的正交基

对于向量空间的正交基，如果其中每个向量的长度都为1，则称为规范正交基

规范正交基使用克罗内克函数函数表示

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克$\delta$函数、克罗内克$\delta$）是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

克罗内克函数使用符号${\delta }_{ij}$表示
$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1，如果i=j\\ 0，如果i\ne j\end{array}$$

定义5

向量空间的基$\mathcal{B}=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$中，如果任意两个向量$e_i$和$e_j$，$i\ne j$，且$e_i\cdot e_j={\delta }_{ij}$，则基$\mathcal{B}$称为向量空间的规范正交基

基到正交基的变换

最后给出向量空间基到正交基的Gram-Schmidt 正交化算法
向量空间的基$\mathcal{B}=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，计算后的向量空间的基${\mathcal{B}}^{{}^{\prime }}=\{e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},\cdots ,e_n^{{}^{\prime }}\}$

1. 令$e_1^{{}^{\prime }}=e_1$
2. $i$=2
3. 从向量$e_i$中减去向量在$e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},\cdots ,e_{i-1}^{{}^{\prime }}$上的投影，结果保存到$e_i^{{}^{\prime }}$中
4. 如果$i<n$,$i$加1，转到步骤3

向量$e_i$在向量$e^{{}^{\prime }}$上的投影利用点乘即可计算
$$e_i^{{}^{\prime }}=\frac{e_i\cdot e^{{}^{\prime }}}{|e^{{}^{\prime }}|}\frac{e^{{}^{\prime }}}{|e^{{}^{\prime }}|}=\frac{e_i\cdot e^{{}^{\prime }}}{e^{{}^{\prime }}\cdot e^{{}^{\prime }}}{e}^{{}^{\prime }}$$

我们以三维空间为例，给出基到正交基的C语言实现

#include <stdio.h> #include <string.h> // 向量点乘，n表示维度 float dot(const float* v1, const float* v2, int n);  // 向量相加：desm表示des的系数，srcm表示src的系数，n表示维度 void add(float* des, float desm, const float* src, float srcm, int n);  //Gram-Schmidt算法，n表示维度 void gramSchmidt(float* des, const float* src, int n);  int main(void) {     float a1[9] = {1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0};     float a2[9] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0};     gramSchmidt(a2, a1, 3);     return 0; }  float dot(const float* v1, const float* v2, int n) {     // 这里应该使用simd运算     float res = 0;     for(int i = 0; i < n; i++)     {         res += (*(v1 + i)) * (*(v2 + i));     }     return res; }  void add(float* des, float desm, const float* src, float srcm, int n) {     for(int i = 0; i < n; i++)     {         *(des + i) = (*(des + i)) * desm +  (*(src + i)) * srcm;     } }  void gramSchmidt(float* des, const float* src, int n) {     int perSize = n * sizeof(float);     memcpy(des, src, perSize);     if(n <= 1)     {         return;     }     for(int i = 1; i < n; i++)     {         memcpy(des + n * i, src + n * i, perSize);         for(int j = 0; j < i; j++)         {             float a1 = dot(des + n * i, des + n * j, n);             float a2 = dot(des + n * j, des + n * j, n);             add(des + n * i, 1, des + n * j, -(a1 / a2), n);         }     } } 

我们使用三维向量
$[1.0,0.0,0.0]$
$[1.0,1.0,0.0]$
$[1.0,1.0,1.0]$

经过算法后得到三维正交基向量
$[1.0,0.0,0.0]$
$[0.0,1.0,0.0]$
$[0.0,0.0,1.0]$