算法【N皇后问题位运算实现】

N皇后问题是一个经典的回溯算法问题，解决N皇后问题的时间复杂度是O(n!)，好的方法可以大量剪枝，大量优化常数时间。

用数组表示路径的方法（经典、常数时间慢，不推荐）

1.记录之前每一行的皇后放在了什么列

2.来到第i行的时候，可以根据0..i-1行皇后的位置，判断能放哪些列 

3.把能放的列都尝试一遍，每次尝试修改路径数组表示当前的决策，后续返回的答案都累加返回

用位运算的方法（巧妙、常数时间快，推荐）

1.int col: 0..i-1行皇后放置的位置因为正下方向延伸的原因，哪些列不能再放皇后

2.int left: 0..i-1行皇后放置的位置因为左下方向延伸的原因，哪些列不能再放皇后

3.int right: 0..i-1行皇后放置的位置因为右下方向延伸的原因，哪些列不能再放皇后

4.根据col、left、right，用位运算快速判断能放哪些列

5.把能放的列都尝试一遍，每次尝试修改3个数字表示当前的决策，后续返回的答案都累加返回

测试链接：https://leetcode.cn/problems/n-queens-ii/

分析：对于位置能否放置皇后采用位运算的方式判断。

代码如下。

class Solution { public:     int totalNQueens(int n) {         int ans = 0;         f(0, 0, 0, 0, ans, n);         return ans;     }      void f(int row, int col, int left, int right, int &ans, int n){         if(row == n){             ans++;             return;         }         int ban = ~(col | left | right);         for(int i = 0;i < n;++i){             if(((ban >> i) & 1) == 1){                 int place = (1 << i);                 f(row+1, col | place, (left | place)>>1, (right | place)<<1, ans, n);             }         }     } };

其中，ans表示个数，row表示进行到第几行，col、left、right表示分别从竖直、右上到左下、左上到右下三个方向上哪些列不能被放置，1为不能，0为能。ban在col、left、right或之后取反可以得到哪些列还可以放置，1为可放置，0为不可放置。遍历找到可放置的列，place中1的位数代表当前行皇后放在哪列。更新col、left、right。