OpenCV仿射变换实现图像扭曲与旋转_业界新闻

发布时间:2024-08-03 04:34

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1. 仿射变换

仿射变换是一种可以表达为乘以一个矩阵（线性变换）再加上一个向量（平移）的变换。在几何中，就是将一个向量空间进行一次线性变化并接上一个平移。

因此我们可以用仿射变化表达如下内容：

旋转Rotations（线性变换，linear transformation）；
平移Translations（矢量加，vector addition）；
缩放操作Scale operations（线性变换）。

由此可见，在图像处理当中，仿射变换本质上反映了两个图像之间的关系。

我们通常使用2×3矩阵来表示仿射变换。

对于“乘以一个矩阵”的线性变换，我们引入矩阵A：

$A=\left[\begin{matrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\\\end{matrix}\right]$

对于加法部分（平移），我们引入矩阵B：

$B=\left[\begin{matrix}b_{00}\\b_{10}\\\end{matrix}\right]$

设待转换的二维列向量为X，转换后的向量为T，则：

$X=\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]$

$T=AX+B=A\cdot\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]+B$

考虑齐次坐标和齐次矩阵更易于进行仿射几何变换，令：

$M=[\begin{matrix}A&B\\\end{matrix}]=\begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & b_{00}\\ a_{10} & a_{11} & b_{10} \end{bmatrix}$

二维向量X视作一个点，其齐次坐标表示为这样的列向量：

$\left[\begin{matrix}x\\y\\1\\\end{matrix}\right]$

这样，我们可以借助齐次坐标，把平移变量也通过一个矩阵表示，则有：

$T=M\cdot\left[\begin{matrix}x\\y\\1\\\end{matrix}\right]$

可见矩阵M就是我们所需要的仿射变换矩阵。

2. 仿射变换的求解

参考内容通过几何方式（三角形三个顶点的映射）描述仿射变换的求解过程，我们也可以用代数知识表达，对于不共线的三点，令：

$T=\begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {x_0'} & {x_1'} & {x_2'} \\ {y_0'} & {y_1'} & {y_2'} \end{bmatrix}$

$X=\begin{bmatrix} {x}\\ {y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {x_0} & {x_1} & {x_2} \\ {y_0} & {y_1} & {y_2} \end{bmatrix}$

方程

$T=M\left[\begin{matrix}X\\1\\\end{matrix}\right]=M\left[\begin{matrix}x\\y\\1\\\end{matrix}\right]$

其方程组形式为：

$\left\{\begin{matrix} a_{00}x_0+a_{01}y_0+b_{00}={x_0'} \\ a_{10}x_0+a_{11}y_0+b_{10}={y_0'} \\ a_{00}x_1+a_{01}y_1+b_{00}={x_1'} \\ a_{10}x_1+a_{11}y_1+b_{10}={y_1'} \\ a_{00}x_2+a_{01}y_2+b_{00}={x_2'} \\ a_{10}x_2+a_{11}y_2+b_{10}={y_2'} \end{matrix}\right.$

有唯一解，从而可以求出仿射矩阵M。

在OpenCV中，我们可以通过cv::getAffineTransform函数求解仿射矩阵或cv::getRotationMatrix2D，求解二维旋转矩阵。

Mat cv::getAffineTransform	(	InputArray	src,
		InputArray	dst
	)

Python:

cv.getAffineTransform(

src, dst

) ->

retval

getRotationMatrix2D()

Mat cv::getRotationMatrix2D	(	Point2f	center,
		double	angle,
		double	scale
	)

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