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题目
一种太阳能光热发电的能量汇聚系统简化后如图1所示。平行光线先经过若干个长度不超过2.5的直线段反射到曲线EF上，再经过曲线EF反射后汇聚到直线段CD上。已知AB的长度为400，CD的长度为10，OG的高度为100。请设计曲线EF的长度和形状，在设计好曲线EF后，给出下列问题的解答。
问题1 当入射的平行光线与AB的夹角为90度时，请安排长度不超过2.5的直线段的数量、每个直线段的位置和角度，使得与AB垂直的光线经过两次反射后进入CD区间内的比例最大。
问题2 当入射的平行光线与AB的夹角从45度变化到90度的过程中，请给出长度不超过2.5的直线段的数量、位置和角度的调整方案，使得光线经过两次反射后进入CD区间内的比例最大。
问题3 能否将长度为不超过2.5的直线段改为长度不超过2.5的光滑曲线，通过对每一段长度不超过2.5的光滑曲线形状和位置的设计以及角度变化的调整，使得当入射平行光线与AB的夹角从45度变化到90度的过程中，光线经过两次反射后进入CD区间的比例有所提高？
图1 入射平行光线经过二次反射后汇聚示意图
问题1：
确定入射光线与AB的夹角为90度时的设计：
- 首先，我们可以选择一定数量的直线段，并确定它们的位置和角度。这些直线段将用于实现光线的反射。
- 接下来，根据入射光线与AB的夹角为90度，使用反射定律来计算光线在每个直线段上的反射角度，并决定光线的路径。
优化直线段的位置和角度：
- 我们可以使用数值优化方法，例如遗传算法、模拟退火算法等，来调整直线段的位置和角度，以最大化光线经过两次反射后进入CD区间内
import numpy as np from scipy.optimize import minimize # 已知参数 AB_length = 400 # AB长度 CD_length = 10 # CD长度 OG_height = 100 # OG高度 max_segment_length = 2.5 # 直线段最大长度 num_segments = 10 # 直线段数量 # 初始直线段位置和角度 segment_positions = np.linspace(0, AB_length, num_segments+1) initial_angles = np.linspace(45, 90, num_segments) # 定义光线追踪函数 def ray_trace(angles): total_ratio = 0 for angle, position in zip(angles, segment_positions): # 根据入射角计算光线到达CD的比例（这里用简化的线性模型） ratio = min(1, CD_length / (position * np.tan(np.radians(angle)))) total_ratio += ratio return -total_ratio # 返回的是相反的比例，因为我们希望最大化比例 # 定义优化问题 result = minimize(ray_trace, initial_angles, method='BFGS') # 输出结果 optimized_angles = result.x print("优化后的直线段角度:") print(optimized_angles) # 计算最终的光线到达CD的比例 final_ratio = -result.fun print("最终光线到达CD的比例:", final_ratio)
优化方案
我们需要找到最佳的反射镜形状，使得光线在AB和CD之间进行多次反射后最终聚焦在一个点上。这个问题可以通过优化算法来解决，其中包括遗传算法、粒子群优化算法等。下面是一个使用遗传算法的示例代码：
import numpy as np from geneticalgorithm import geneticalgorithm as ga # 目标函数：计算垂直入射光线经过两次反射后进入CD区间内的比例 def objective_function(params): # 计算反射点位置 reflection_points = calculate_reflection_points(params) # 计算反射后进入CD区间内的比例 ratio = calculate_ratio(reflection_points) return -ratio # 由于是最大化比例，因此取负值作为目标函数 # 计算反射点位置的函数 def calculate_reflection_points(params): # 根据参数计算直线段的位置和角度 # 计算反射点位置 pass # 计算反射后进入CD区间内的比例的函数 def calculate_ratio(reflection_points): # 计算反射后进入CD区间内的比例 pass # 定义参数范围 n = 10 # 假设有10个直线段 varbound = np.array([[0, 400], [0, 90]] * n) # 每个直线段的位置范围为[0, 400]，角度范围为[0, 90] # 使用遗传算法进行优化 model = ga(function=objective_function, dimension=2 * n, variable_type='real', variable_boundaries=varbound) model.run() # 输出结果 optimal_params = model.output_dict['variable'] print("Optimal Parameters:", optimal_params)问题2：
- 调整入射角度并重新设计：
- 当入射角度从45度变化到90度时，需要重新调整直线段的数量、位置和角度。
- 对于每个入射角度，使用反射定律计算光线在直线段上的反射角度，并进行优化，以最大化光线进入CD区间的比例。
import numpy as np from scipy.optimize import minimize # 已知参数 AB_length = 400 # AB长度 CD_length = 10 # CD长度 OG_height = 100 # OG高度 max_segment_length = 2.5 # 直线段最大长度 num_segments = 10 # 直线段数量 # 初始直线段位置和角度 segment_positions = np.linspace(0, AB_length, num_segments+1) initial_angles = np.linspace(45, 90, num_segments) # 定义光线追踪函数 def ray_trace(angles): total_ratio = 0 for angle, position in zip(angles, segment_positions): # 根据入射角计算光线到达CD的比例（这里用简化的线性模型） ratio = min(1, CD_length / (position * np.tan(np.radians(angle)))) total_ratio += ratio return -total_ratio # 返回的是相反的比例，因为我们希望最大化比例 # 定义优化问题 result = minimize(ray_trace, initial_angles, method='BFGS') # 输出结果 optimized_angles = result.x print("优化后的直线段角度:") print(optimized_angles) # 计算最终的光线到达CD的比例 final_ratio = -result.fun print("最终光线到达CD的比例:", final_ratio)优化方案
我们可以使用优化算法来寻找最佳的波长组合，以最大化光热发电系统的能量吸收。一个常用的优化算法是遗传算法（Genetic Algorithm），它可以搜索最佳的波长组合以满足特定的优化目标。
import numpy as np from geneticalgorithm import geneticalgorithm as ga # 定义目标函数：使得能量吸收最大化 def objective_function(wavelengths): # 计算能量吸收 energy_absorption = calculate_energy_absorption(wavelengths) # 目标是最大化能量吸收，因此返回负值以转换为最小化问题 return -energy_absorption # 定义问题的上下界 varbound = np.array([[400, 700]] * 5) # 5个波长的范围，假设波长范围为400到700纳米 # 使用遗传算法进行优化 model = ga(function=objective_function, dimension=5, variable_type='real', variable_boundaries=varbound) model.run() # 输出结果 optimal_wavelengths = model.output_dict['variable'] print("Optimal Wavelengths:", optimal_wavelengths)问题3：
探讨光滑曲线的设计：
- 考虑将直线段替换为光滑曲线，以更好地引导光线。
- 设计光滑曲线的形状和位置，使其能够最大程度地聚焦光线到CD区间内。
使用数值优化方法：
- 借助数值优化方法，可以调整光滑曲线的形状、位置和角度，以提高反射后进入CD区间的比例。
import numpy as np from scipy.optimize import minimize AB_length = 400 # AB长度 CD_length = 10 # CD长度 OG_height = 100 # OG高度 max_curve_length = 2.5 # 光滑曲线最大长度 num_curves = 10 # 光滑曲线数量 # 初始化光滑曲线位置和角度 curve_positions = np.linspace(0, AB_length, num_curves+1) initial_angles = np.linspace(45, 90, num_curves) # 定义光线追踪函数 def ray_trace(curves): total_ratio = 0 for angle, position in zip(initial_angles, curve_positions): ratio = min(1, CD_length / (position * np.tan(np.radians(angle)))) total_ratio += ratio return -total_ratio # 定义优化问题并执行优化 result = minimize(ray_trace, initial_angles, method='BFGS') # 输出结果 optimized_angles = result.x print("优化后的光滑曲线角度:") print(optimized_angles) final_ratio = -result.fun print("最终光线到达CD的比例:", final_ratio) 优化方案：
一个可能的优化方案是采用遗传算法来搜索最佳的入射角度组合
import numpy as np from geneticalgorithm import geneticalgorithm as ga # 设定光热发电能量汇聚系统的参数 AB_length = 10 # AB的长度 CD_length = 5 # CD的长度 # 定义函数计算光线在AB和CD之间的反射路径 def calculate_reflection_path(incident_angles): reflection_positions = [0] # 起始位置 for angle in incident_angles: reflection_positions.append(reflection_positions[-1] + AB_length * np.tan(angle)) reflection_positions.append(reflection_positions[-1] + CD_length * np.tan(angle)) return reflection_positions # 定义目标函数：使得反射路径尽可能地接近给定的路径 def objective_function(incident_angles): num_reflections = len(incident_angles) calculated_path = calculate_reflection_path(incident_angles) target_path = [1, 3, 7, 9] # 给定的目标路径 return np.sum((np.array(calculated_path) - np.array(target_path)) ** 2) # 定义问题的上下界 varbound = np.array([[0, np.pi/2]] * 3) # 3个入射角度的范围 # 使用遗传算法进行优化 model = ga(function=objective_function, dimension=3, variable_type='real', variable_boundaries=varbound) model.run() # 输出结果 optimal_incident_angles = model.output_dict['variable'] optimal_incident_angles_degrees = np.degrees(optimal_incident_angles) print("Optimal Incident Angles:", optimal_incident_angles_degrees)