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完全背包
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } } 而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包 for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } } 在01背包中，遍历物品在外层，遍历容量在内层；
而在完全背包中，两个for遍历的先后顺序不影响.
卡码网-52.携带研究材料
题目
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。
小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。
输入描述
第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间
接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值
输出描述
输出一个整数，表示最大价值。
if __name__ == '__main__': # 行李容量空间 N, bagWeight = map(int, input().split()) # 初始化重量和价值的数组 weight = [] value = [] # 逐行读取接下来的N行数据 for _ in range(N): w, v = map(int, input().split()) weight.append(w)# 重量 value.append(v) # 价值 dp = [0] * (bagWeight + 1) for i in range(len(weight)): # 遍历物品 for j in range(weight[i] , bagWeight+1): # 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]) print(dp[-1]) 518. 零钱兑换 II
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给定不同面额的硬币coins和一个总金额amount。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
- 确定dp含义
凑成总金额j的货币组合数为dp[j] - 确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; - 初始化
dp[0] = 1 - 确定遍历方向
外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）。计算的是组合数。
内层for循环遍历物品（钱币），外层for遍历背包（金钱总额）。计算的是排列数。
class Solution: def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int: dp = [0]*(amount + 1) dp[0]=1 for i in range(len(coins)): for j in range(coins[i], amount+1): dp[j]+=dp[j - coins[i]] return dp[-1] 377. 组合总和 Ⅳ
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给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组nums，找出和为给定目标正整数target的排列的个数。
- 确定dp含义
凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i] - 确定递推公式
dp[i] += dp[i - nums[j]] - 初始化
dp[0] = 1 - 确定遍历方向
求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
class Solution: def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int: dp = [0]*(target+1) dp[0]=1 for i in range(1, target+1): for j in range(len(nums)): if i - nums[j] >= 0: dp[i] += dp[i - nums[j]] return dp[-1] 70. 爬楼梯
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述
输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述
输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
思路
完全背包问题，1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。
- 确定dp含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。 - 确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j] - 初始化
dp[0]=1 - 确定遍历方向
target放在外循环，将nums放在内循环
if __name__ == '__main__': n, m = map(int, input().split()) dp = [0] * (n+1) dp[0] = 1 for j in range(1, n+1): for i in range(1, m+1): if j >= i: dp[j] += dp[j-i] print(dp[-1]) 