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前言
💬 hello! 各位铁子们大家好哇。
今日更新了二叉搜索树的相关内容
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二叉搜索树
概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
操作
查找
- 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
- 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
插入
- 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
- 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点 。默认不能冗余，如果已经有相同的值了，就插入失败。
中序遍历
二叉搜索树的中序遍历，其实就是升序后的排序。因为根节点是私有的，这里不适合用友元。所以对于递归的函数，可以弄一个子函数为私有，套一层在外面，这里就不需要传形参了，不需要访问私有的根节点了。
删除
上图是我们即将使用的搜索二叉树模型。
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情 况：
- 要删除的结点无孩子结点（情况1）
- 要删除的结点只有左孩子结点（情况2）
- 要删除的结点只有右孩子结点（情况3）
- 要删除的结点有左、右孩子结点（情况4）
实际上，情况1可以和2，3合并起来，不需要额外判断。
实际删除过程：
- 情况2：删除该节点且使该节点的父节点指向该节点的左孩子。
- 情况3：删除该节点且使该节点的父节点指向该节点的右孩子。
- 情况4：在它的右子树找最左节点进行交换，然后再处理该节点的删除问题。（或者找左子树的最右节点进行替换）
删除的完整代码：
bool Erase(const K& key) { Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { //删除 //左为空，父亲指向我的右 if (cur->_left == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_left; } else { //右为空，父亲指向我的左 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete cur; } else { //左右都不为空，替换法删除 //查找右子树的最左节点替代删除（也可找左子树的最右节点替换） //注意删除根节点的特殊情况，此时rightmin的父亲为cur Node* rightMinParent = cur; Node* rightMin = cur->_right; while (rightMin->_left) { rightMinParent = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } swap(cur->_key, rightMin->_key); //判断rightmin在父亲的左边还是右边 //rightmin左边为空，所以rightmin的父亲指向rightmin的右边 if(rightMinParent->_left==rightMin) rightMinParent->_left = rightMin->_right; else rightMinParent->_right = rightMin->_right; delete rightMin; } return true; } } return false; }
注意，当删除全部节点时，需要更新根节点，如上图。
二叉搜索树的应用
K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。
K模型代码：
namespace key { template<class K> struct BSTreeNode { BSTreeNode<K>* _left; BSTreeNode<K>* _right; K _key; BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) {} }; template<class K> class BSTree { typedef BSTreeNode<K> Node; public: bool Insert(const K& key) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key); if (parent->_key > key) { parent->_left = cur; } else { parent->_right = cur; } return true; } bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return true; } } return false; } bool Erase(const K& key) { Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { //删除 //左为空，父亲指向我的右 if (cur->_left == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_left; } else { //右为空，父亲指向我的左 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete cur; } else { //左右都不为空，替换法删除 //查找右子树的最左节点替代删除（也可找左子树的最右节点替换） Node* rightMinParent = cur; Node* rightMin = cur->_right; while (rightMin->_left) { rightMinParent = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } swap(cur->_key, rightMin->_key); if (rightMinParent->_left == rightMin) rightMinParent->_left = rightMin->_right; else rightMinParent->_right = rightMin->_right; delete rightMin; } return true; } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_key << ":" << root->_val << endl; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; }; void BSTreeTest1() { int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 }; BSTree<int> t1; for (auto e : a) { t1.Insert(e); } t1.InOrder(); t1.Erase(8); t1.InOrder(); for (auto e : a) { t1.Erase(e); t1.InOrder(); } } }KV模型代码：
namespace key_value { template<class K,class V> struct BSTreeNode { BSTreeNode<K,V>* _left; BSTreeNode<K,V>* _right; K _key; V _val; BSTreeNode(const K& key,const V& val) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) ,_val(val) {} }; template<class K,class V> class BSTree { typedef BSTreeNode<K,V> Node; public: bool Insert(const K& key,const V& val) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key,val); return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key,val); if (parent->_key > key) { parent->_left = cur; } else { parent->_right = cur; } return true; } Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { //删除 //左为空，父亲指向我的右 if (cur->_left == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete cur; } else if (cur->_right == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_left; } else { //右为空，父亲指向我的左 if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete cur; } else { //左右都不为空，替换法删除 //查找右子树的最左节点替代删除（也可找左子树的最右节点替换） Node* rightMinParent = cur; Node* rightMin = cur->_right; while (rightMin->_left) { rightMinParent = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } swap(cur->_key, rightMin->_key); if (rightMinParent->_left == rightMin) rightMinParent->_left = rightMin->_right; else rightMinParent->_right = rightMin->_right; delete rightMin; } return true; } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; }; void BSTreeTest2() { BSTree<string, string> dict; dict.Insert("string", "字符串"); dict.Insert("left", "左边"); dict.Insert("insert", "插入"); string str; while (cin >> str) { BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str); if (ret) { cout << ret->_val << endl; } else { cout << "找不到" << endl; } } } } KV模型只需要在K模型的基础上进行修改即可。
性能分析
根据二叉树结构的不同，时间复杂度也会不一样。
最优情况：二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，时间复杂度：O(logN)
最差情况：二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，时间复杂度：O(N)
