NOIP图论 最小生成树——Prim算法(详细图解)

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作者
猴君
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 最小生成树的概念 

 经典题目

prim算法简介 

prim算法解析 (详细图解)

 代码实现

 代码实战


 最小生成树的概念 

在一给定的无向图G = (V, E) 中,(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边,而 w(u, v) 代表此的边权重,若存在 T 为 E 的子集(即)且为无循环图,使得的 w(T) 最小,则此 T 为 G 的最小生成树。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。(简而言之就是把一个图变成一棵树,并且树中的边权和最小)

 经典题目

 P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)https://www.luogu.com.cn/problem/P3366

 (这道题的数据过大,为了简化问题,我们假定数据范围可以用一个二维数组存下)

prim算法简介 

prim算法基于贪心,我们每次总是选出一个离生成树距离最小的点去加入生成树,最后实现最小生成树(不做证明,理解思想即可) 

prim算法解析 (详细图解)

(随机构建一个无向图) 

  • 现在我们构建两个集合S(红色的点),V(蓝色的点),S集合中存放的是已近加入最小生成树的点,V集合中存放的是还没有加入最小生成树的点。显然刚开始时所有的点都在V集合中。
  • 然后们先将任意一个点加入集合S中(默认为点1),并且初始化所有点(除了点1)到集合S的距离是无穷大。

  •  用一个变量res存放最小生成树所有边权值的和。我们每次都选择离S集合最近的点加入S集合中,并且用新加入的点去更新dist数组,因为只有一个新的点加入到集合S中,到集合S的距离才有可能更新(贪心,每次都选最小的)。
  • 更新就是看一下能否通过新加入的点使到达集合的距离变小(看下面dist数组的变化)。
  • 我们开始在加入点1后开始第一次更新。

 

  • 现在集合S={1},集合V={2,3,4,5,6,7},根据贪心策略,我们选择离集合S最近的点加入 ,即点2,并把这一条边的权值加到res中。

  • 集合更新为S={1,2},V={3,4,5,6,7},并用点2去更新dist数组,我们发现点3和点7都可以都可以通过边2-3,2-7缩短到集合S得距离。

  • 重复上面的步骤,直到将全部的点加入到最小生成树中。 

  • 3并不能更新任何点 

 

 

  • 这样一颗最小生成树就构建完成了,权值和是57。 

 代码实现

    
  1. const int MAXN = 1000,INF = 0x3f3f3f3f; //定义一个INF表示无穷大。
  2. int g[MAXN][MAXN],dist[MAXN],n,m,res;
  3. //我们用g[][]数组存储这个图,dist[]储存到集合S的距离,res保存结果。
  4. bool book[MAXN]; //用book数组记录某个点是否加入到集合S中。

    
  1. int main()
  2. {
  3. cin>>n>>m; //读入这个图的点数n和边数m
  4. for( int i = 1 ; i<= n ;i++)
  5. {
  6. for( int j = 1; j <= n ;j++)
  7. {
  8. g[i][j] = INF; //初始化任意两个点之间的距离为正无穷(表示这两个点之间没有边)
  9. }
  10. dist[i] = INF; //初始化所有点到集合S的距离都是正无穷
  11. }
  12. for( int i = 1; i <= m ; i++)
  13. {
  14. int a,b,w;
  15. cin>>a>>b>>w; //读入a,b两个点之间的边
  16. g[a][b] = g[b][a] = w; //由于是无向边,我们对g[a][b]和g[b][a]都要赋值
  17. }
  18. prim(); //调用prim函数
  19. if(res==INF) //如果res的值是正无穷,表示不能该图不能转化成一棵树,输出orz
  20. cout<< "orz";
  21. else
  22. cout<<res; //否则就输出结果res
  23. return 0;
  24. }

    
  1. void prim()
  2. {
  3. dist[ 1] = 0; //把点1加入集合S,点1在集合S中,将它到集合的距离初始化为0
  4. book[ 1] = true; //表示点1已经加入到了S集合中
  5. for( int i = 2 ; i <= n ;i++)dist[i] = min(dist[i],g[ 1][i]); //用点1去更新dist[]
  6. for( int i = 2 ; i <= n ; i++)
  7. {
  8. int temp = INF; //初始化距离
  9. int t = -1; //接下来去寻找离集合S最近的点加入到集合中,用t记录这个点的下标。
  10. for( int j = 2 ; j <= n; j++)
  11. {
  12. if(!book[j]&&dist[j]<temp) //如果这个点没有加入集合S,而且这个点到集合的距离小于temp就将下标赋给t
  13. {
  14. temp = dist[j]; //更新集合V到集合S的最小值
  15. t = j; //把点赋给t
  16. }
  17. }
  18. if(t== -1){res = INF ; return ;}
  19. //如果t==-1,意味着在集合V找不到边连向集合S,生成树构建失败,将res赋值正无穷表示构建失败,结束函数
  20. book[t] = true; //如果找到了这个点,就把它加入集合S
  21. res+=dist[t]; //加上这个点到集合S的距离
  22. for( int j = 2 ; j <= n ; j++)dist[j] = min(dist[j],g[t][j]); //用新加入的点更新dist[]
  23. }
  24. }

 代码实战

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行,也许看完了上面的解析,你已经最prim算法有了一个大致的了解,学习算法,大致的了解是远远不够的,代码的实践永远是最重要的,学习完一个算法后一定要去自己亲手试试,每个人都有自己的代码风格,大家大可以在自己的风格之上写出自己的prim。

prim习题简介难度
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 第一题是模板,后面两题主要是更好得帮助我们理解最小生成树——prim在实际和题目中得应用。

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