数据结构与算法-10高级数据结构_树论（树论基础）

树论基础&二叉树

1 什么是树

概念

• 数据结构中的“树”（Tree）是一种非常重要的非线性数据结构，它模拟了具有树状结构特点的数据集合。在树形结构中，每个元素被称为一个节点（Node），节点之间通过特定的关系连接，这些关系通常被描述为“父子”关系。

• 树是由n（n≥0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它有一个特殊的节点，称为根节点（Root Node），其余节点分成m（m≥0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm，其中每一个子集Ti（1≤i≤m）又是一棵符合本定义的树，称为根的子树（Subtree）。

特性

1. 层次性：树中的节点按照层次组织，根节点位于最顶层，叶子节点位于最底层。
2. 无环性：在树中，除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点；没有节点是其自身的祖先或后代。
3. 子树不相交性：任意两个子树的节点之间没有交集。

2 重要术语

1. 节点（Node）
   • 树的每个元素都是一个节点。
   • 节点可能包含一个值或一组值，以及指向其子节点的链接。
2. 根节点（Root Node）
   • 树中唯一没有父节点的节点。
   • 它通常是树的入口点。
3. 子节点（Child Node）
   • 一个节点可以有零个或多个子节点。
   • 子节点通过边（Edge）与父节点相连。
4. 父节点（Parent Node）
   • 子节点的上一级节点。
   • 除了根节点外，每个节点都有一个父节点。
5. 兄弟节点（Sibling Nodes）
   • 具有相同父节点的节点。
6. 叶子节点（Leaf Node）
   • 没有子节点的节点。
   • 它们位于树的最低层。
7. 度（Degree）
   • 一个节点的子节点数。
   • 叶子节点的度为0。
   • 示例：在二叉树中，每个节点最多有两个子节点（一个左子节点和一个右子节点），因此二叉树中节点的度最大为2。但在一般的树（也称为N叉树）中，节点的度可以大于2，具体取决于树的定义和上下文。
8. 树的度（Degree of a Tree）
   • 树中所有节点的度的最大值。
9. 层次（Level）
   • 从根节点开始，根节点为第1层，它的子节点为第2层，依此类推。
10. 深度（Depth）或高度（Height）
    • 树中节点的最大层次数。
    • 根节点的深度为0，其直接子节点的深度为1，依此类推。
11. 路径（Path）
    • 从一个节点到另一个节点所经过的节点序列。
    • 路径长度是路径上的节点数减一。
12. 森林（Forest）
    • 一个或多个互不相交的树的集合。
13. 结点的高度：结点到叶子结点的最长路径
14. 结点的深度：根结点到该结点的边个数
15. 结点的层数：结点的深度加1
16. 树的高度：根结点的高度

3 不同的树

1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
   1. 每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
   2. 子树之间不能相交。
   3. 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
   4. 一颗N个结点的树有N-1条边。
   5. 一个节点的子树的个数称为节点的度，普通二叉树中节点的度最大为2。
2. 二叉搜索树（BST）：二叉树的一种特殊形式，其中对于树中的每个节点，其左子树上所有节点的值都小于它的值，而右子树上所有节点的值都大于它的值。
3. 平衡二叉树：一种特殊的二叉搜索树，其中任意节点的两个子树的高度差最多为1。常见的平衡二叉树有AVL树和红黑树。
4. 完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干节点。
   1. 编号性质：对于深度为h的完全二叉树，它的节点从1到2^h-1依次编号。其中，对于任意节点i，如果它的编号为i，则它的左子节点编号为2i，右子节点编号为2i+1。
   2. 父子关系：对于任意节点i，如果它的编号为i，则它的父节点编号为i/2（向下取整）。
   3. 高度：完全二叉树的高度为log(n+1)（以2为底），其中n为节点数。
   4. 存储方式：完全二叉树可以使用数组来存储，从而实现快速的访问和修改。
5. 满二叉树：除叶子结点外，每个结点都有左右两个子结点。
   1. 每一层的节点数都达到了最大值。
   2. 节点要么是叶子节点（没有子节点），要么是度为2的节点（有两个子节点）。
6. N叉树：每个节点可以有N个子节点的树，其中N是一个大于1的整数。
7. B树和B+树：用于数据库和文件系统的平衡多路搜索树，它们允许每个节点有多个子节点和关键字，用于高效地插入、删除和搜索数据。
8. 堆（Heap）：一种特殊的树形数据结构，通常用于实现优先队列。堆是一种完全二叉树，它满足堆的性质：父节点的值总是大于或等于（大顶堆）或小于或等于（小顶堆）其子节点的值。

4 二叉树的遍历

4.1 前序遍历

前序遍历顺序：根节点、左节点、右节点

/** * 前序遍历 * @param node */ public void preOrder(MyBinaryTreeNode<T> node){     print(node);     if (node.left != null){         preOrder(node.left);     }     if (node.right != null){         preOrder(node.right);     } } 

4.2 中序遍历

中序遍历顺序：左节点、跟节点、右节点

/** * 中序遍历 */ public void middleOrder(MyBinaryTreeNode<T> node){     if (node == null){         return;     }     if (node.left != null){         middleOrder(node.left);     }     print(node);     if (node.right != null){         middleOrder(node.right);     } } 

4.3 后续遍历

后续遍历顺序：左节点、右节点、根节点

/**  * 后续遍历 */ public void postOrder(MyBinaryTreeNode<T> node){     if (node == null){         return;     }     if (node.left != null){         postOrder(node.left);     }     if (node.right != null){         postOrder(node.right);     }     print(node); } 

4.4 层次遍历

层次遍历：也叫横向遍历

/** * 层级遍历 */ public void transverseSort(MyBinaryTreeNode<T> node){     if (node == null){         return;     }     print(node);     ArrayQueue<MyBinaryTreeNode<T>> queue = new ArrayQueue<>(10);     queue.add(node);     while (!queue.isEmpty()){         MyBinaryTreeNode<T> remove = queue.remove(0);         if (remove.left != null){             print(remove.left);             queue.add(remove.left);         }         if (remove.right != null){             print(remove.right);             queue.add(remove.right);         }     } } 

4.5 完整代码

package cn.zxc.demo.leetcode_demo.advanced_data_structure;  import com.sun.jmx.remote.internal.ArrayQueue;  /**  * 二叉树  *              A  *            /   \  *           B     E  *            \     \  *            C      F  *           /      /  *          D      G  *               /  \  *              H    K  * 前序遍历：  * A B C D E F G H K  * 中序遍历：  * B D C A E H G K F  * 后序遍历：  * D C B H K G F E A  * 层级遍历：  * A B E C F D G H K  */ public class MyBinaryTreeDemo<T> {       /**      * 前序遍历      * @param node      */     public void preOrder(MyBinaryTreeNode<T> node){         print(node);         if (node.left != null){             preOrder(node.left);         }         if (node.right != null){             preOrder(node.right);         }     }      /**      * 中序遍历      */     public void middleOrder(MyBinaryTreeNode<T> node){         if (node == null){             return;         }         if (node.left != null){             middleOrder(node.left);         }         print(node);         if (node.right != null){             middleOrder(node.right);         }     }      /**      * 后续遍历      */     public void postOrder(MyBinaryTreeNode<T> node){         if (node == null){             return;         }         if (node.left != null){             postOrder(node.left);         }         if (node.right != null){             postOrder(node.right);         }         print(node);     }      /**      * 层级遍历      */     public void transverseSort(MyBinaryTreeNode<T> node){         if (node == null){             return;         }         print(node);         ArrayQueue<MyBinaryTreeNode<T>> queue = new ArrayQueue<>(10);         queue.add(node);         while (!queue.isEmpty()){             MyBinaryTreeNode<T> remove = queue.remove(0);             if (remove.left != null){                 print(remove.left);                 queue.add(remove.left);             }             if (remove.right != null){                 print(remove.right);                 queue.add(remove.right);             }         }     }      /**      * 打印      * @param node      */     public void print(MyBinaryTreeNode<T> node){         if(node == null){             return;         }         System.out.print(node.data + " ");     }      public static void main(String[] args) {         MyBinaryTreeNode<String> D = new MyBinaryTreeNode<String>("D", null, null);         MyBinaryTreeNode<String> H = new MyBinaryTreeNode<String>("H", null, null);         MyBinaryTreeNode<String> K = new MyBinaryTreeNode<String>("K", null, null);         MyBinaryTreeNode<String> C = new MyBinaryTreeNode<String>("C", D, null);         MyBinaryTreeNode<String> G = new MyBinaryTreeNode<String>("G", H, K);         MyBinaryTreeNode<String> B = new MyBinaryTreeNode<String>("B", null, C);         MyBinaryTreeNode<String> F = new MyBinaryTreeNode<String>("F", G, null);         MyBinaryTreeNode<String> E = new MyBinaryTreeNode<String>("E", null, F);         MyBinaryTreeNode<String> A = new MyBinaryTreeNode<String>("A", B, E);         MyBinaryTreeDemo<String> myBinaryTreeDemo = new MyBinaryTreeDemo<>();         System.out.println("前序遍历：");         myBinaryTreeDemo.preOrder(A); // A B C D E F G H K         System.out.println();         System.out.println("中序遍历："); // B D C A E H G K F         myBinaryTreeDemo.middleOrder(A);         System.out.println();         System.out.println("后序遍历："); // D C B H K G F E A         myBinaryTreeDemo.postOrder(A);         System.out.println();         System.out.println("层级遍历：");         myBinaryTreeDemo.transverseSort(A);         System.out.println();     } } class MyBinaryTreeNode<T> {     T data;     MyBinaryTreeNode<T> left;     MyBinaryTreeNode<T> right;     public MyBinaryTreeNode(T data) {         this.data = data;     }     public MyBinaryTreeNode(T data, MyBinaryTreeNode<T> left, MyBinaryTreeNode<T> right) {         this.data = data;         this.left = left;         this.right = right;     }      public T getData() {         return data;     }      public void setData(T data) {         this.data = data;     }      public MyBinaryTreeNode<T> getLeft() {         return left;     }      public void setLeft(MyBinaryTreeNode<T> left) {         this.left = left;     }      public MyBinaryTreeNode<T> getRight() {         return right;     }      public void setRight(MyBinaryTreeNode<T> right) {         this.right = right;     } }