前缀和:
- 1.简介
- 2.一维前缀和
- 讲解
- 求子矩阵内的和
- 代码
- 3.二维前缀和
- 讲解
- 求子矩阵和
- 代码
- 4.题目
- 一维前缀和模板
- 二维前缀和模板
- 寻找数组的中心下标
- 除自己以外数组的乘积
- 和为k的子数组
1.简介
前缀和算法是一种用空间换时间的算法,他常常用于解决某些题目或者作为某些高级算法的组成部分。
例如:让你求某个矩阵(一维)的子矩阵的最大值,如果使用暴力解法它的时间复杂度将会是O(n^2) ,但如果使用该算法就可以使其时间复杂度降低一个维度也就是O(N).
2.一维前缀和
讲解
该算法需要开辟一个比原数组的大小大一个内存的数组
它的每一个元素意义是:前原数组n个元素的总和。也就是说下标为3的元素,是原来前三个元素的和。(也可以理解为除了自己以外的前面元素的和)
至于为什么会多开辟一个元素,我们后续会讲。
因此我们可以得出求和数组的递推公式:
s u m [ i ] = a r r [ i − 1 ] + s u m [ i − 1 ] sum[i]=arr[i-1] + sum[i-1] sum[i]=arr[i−1]+sum[i−1]
此时我们多开一个内存的意义就可以体现出来了,当我们求第一个元素数组的时候需要加上前一个sum 。
但是如果第一个元素前一个位置没有东西就会发生越界访问,因此我们要给他提前准备一个内存并且默认为0。
总的来说,就是为了处理第一个元素越界的问题。
求子矩阵内的和
我们已经知道了sum的每一个元素的意义,那么原数组的子矩阵的和也就可以得出来,例如:下标x到y的子矩阵之和就等于:
s o n = s u m [ y + 1 ] − s u m [ x ] son=sum[y+1]-sum[x] son=sum[y+1]−sum[x]
代码
如果你理解了上述内容,它的代码就可以轻松写出来:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int arr[5] = {1,2,3,4,5}; int sum[6]; sum[0] = 0; for (int i = 1; i < 6; i++) sum[i] = arr[i - 1] + sum[i - 1]; for (auto i : sum) cout << i << ' '; return 0; }
运行结果:
3.二维前缀和
讲解
二维前缀和相对于一维复杂的多,它也需要多开辟空间,不同的是他是在每个维度都要多开辟一个。
它每个元素的意义是:下标为(x,y)的求和数组的元素,是原数组下标(0,0)到(x - 1, y - 1)子矩阵内元素的和,建议配合图来理解。
举个例子: sum[2][2] = arr[0][0] + arr[0][1] + arr[1][0] + arr[1][1] 其他也是如此。
如果你理解了上述内容,那么就让我们来推一下它的递推公式:
至于我们为什么要这么求,暂且往下看。
当我们求前缀和的时候,我们是顺序求取的,当我们求(x,y)位置的前缀和时候,我们的(x,y - 1),(x - 1, y -1),(x- 1,y)这三个位置的前缀和就已经求出来了,也就是说ABCD的位置的值你都是知道的,所以我们我么可以得出以下公式:
s u m [ x ] [ y ] = s u m [ x − 1 ] [ y ] + s u m [ x ] [ y − 1 ] − s u m [ x − 1 ] [ y − 1 ] + a r r [ x − 1 ] [ y − 1 ] sum[x][y] = sum[x-1][y] + sum[x][y-1] - sum[x-1][y-1] + arr[x- 1][y-1] sum[x][y]=sum[x−1][y]+sum[x][y−1]−sum[x−1][y−1]+arr[x−1][y−1]
求子矩阵和
求子矩阵和是建立在已经求出所有前缀和基础上的,求子矩阵和的方法和求前缀和的方法相似,且看图解:
由此我们可以得出递推公式,原数组(x1,y1)到(x,y)的子矩阵:
s o n = s u m [ x + 1 ] [ y + 1 ] + s u m [ x 1 ] [ y 1 ] − s u m [ x + 1 ] [ y 1 ] − s u m [ x 1 ] [ y + 1 ] son =sum[x+1][y+1] +sum[x1][y1]-sum[x+1][y1]-sum[x1][y+1] son=sum[x+1][y+1]+sum[x1][y1]−sum[x+1][y1]−sum[x1][y+1]
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { vector<vector<int>>v(3, vector<int>(3)); vector<vector<int>>sum(4, vector<int>(4, 0)); for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) { v[i][j] = j + 1;//每个一维数组初始化为1 2 3 sum[i + 1][j + 1] = sum[i + 1][j] + sum[i][j + 1] - sum[i][j] + v[i][j];//递推 } for (auto i : sum) { for (auto k : i) cout << k << ' '; cout << endl; } int x1, y1,x,y; cout << "子矩阵坐标:" << endl; cin >> x1 >> y1 >> x >> y;//求子矩阵 cout << sum[x + 1][y + 1] - sum[x + 1][y1] - sum[x1][y + 1] + sum[x1][y1]; return 0; }
运行结果:
4.题目
一维前缀和模板
点这里进入
答案:最简单的都不会???回去再翻翻去
二维前缀和模板
点这里进入
答案:这个做对了说明你理解这个算法了
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; signed main() { int n = 0, m = 0, q = 0; cin >> n >> m >> q; vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1)); vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { cin >> arr[i][j]; dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1]; } } int x1, y1, x2, y2; while (q--) { cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2; cout << dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl; } return 0; }
寻找数组的中心下标
思路:
- 前缀和+后缀和(这个纯属就是前缀的倒序版)
- 如果这个元素的前缀和和后缀和相同,说明找到了。
class Solution { public: int pivotIndex(vector<int>& nums) { vector<int>dp(nums.size() + 1, 0); vector<int>dp1(nums.size() + 1, 0); for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) { dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1]; } for(int i = nums.size() - 2; i >= 0; i--){ dp1[i] = dp1[i + 1] + nums[i + 1]; } for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { if (dp[i] == dp1[i]) return i; } return -1; } };
除自己以外数组的乘积
点我就完事了
思路:
- 前缀和算法的简单变化,本质依旧如此
- 可以使用上一个题的方法,前缀和+后缀和
- 下面的方法是那个方法的优化,空间复杂度优化到了O(1)
class Solution { public: vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) { // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 1, mulltiplies<int>()); int n = nums.size(); vector<int> ans(n); ans[0] = 1; for(int i = 1; i < n;i++) ans[i] = ans[i - 1] * nums[i - 1]; int r = 1; for(int i = n - 1; i >= 0;i--){ ans[i] = ans[i] * r; r *= nums[i]; } return ans; } };
和为k的子数组
挺难的
思路:
- 假设这个位置存在连续数组使其和为target,那么说明其前面的前缀和必存在sum - target的值
- 配合哈希表使用,记录前面每个前缀和出现的次数
- 从头开始遍历,一遍存前缀和,一边找是否有符合的数组
class Solution { public: int subarraySum(vector<int>& nums, int k) { unordered_map<int, int> hash; int sum = 0; int ret = 0; for(auto i : nums) { hash[sum]++; sum += i; if(hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k]; } return ret; } };
感谢观众老爷的观看Thanks♪(・ω・)ノ,如果觉得满意的话留个关注再走吧。