平面方程的几种形式

平面方程

一、一般方程

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0$$
法向量: $\hat{\mathbf{n}}=(A,B,C)$

二、点法式

$$\hat{\mathbf{n}}\cdot (p-p_0)=0$$

• $\hat{\mathbf{n}}$ 是平面的法向量。
• $p$ 是平面上的任意一点。
• $p_0 $是平面上的一个已知点。

三、距离和法线

已知沿法向量方向平面到原点的垂直距离为 $height$, 法向量: $\hat{\mathbf{n}}=(A,B,C)$。

高度
height 是从原点到平面的垂直距离，即沿着法向量方向的距离

单位法向量
将法向量 $\hat{\mathbf{n}}$ 归一化为单位向量。单位向量是具有相同方向但长度为1的向量。计算方法为：
$$\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right)$$

利用高度确定平面上的一点
沿着单位法向量方向移动这一距离以找到平面上的一点 $(x_0,y_0,z_0)$
$$(x_0,y_0,z_0)=height\cdot \hat{\mathbf{n}}=\left(height\cdot \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},height\cdot \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},height\cdot \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right)$$

表示: 从原点沿着单位法向量方向移动了 height 的距离，达到了平面上的某一点。

代入点法式方程
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

$$A(x-height\cdot \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})+B(y-height\cdot \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})+C(z-height\cdot \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})=0$$

简化方程
展开和简化得到:
$$Ax-\frac{height\cdot A^2}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}+Bx-\frac{height\cdot B^2}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}+Cx-\frac{height\cdot C^2}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0$$

进一步整理:
$$Ax+Bx+Cx=height\cdot \frac{(A^2+B^2+C^2)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

因为:
$$\frac{(A^2+B^2+C^2{)}^1}{(A^2+B^2+C^2{)}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$$

所以最后得到:
$$Ax+Bx+Cx=height$$

$$\mathbf{n}\cdot p=height$$
$p$ 是平面上的任意一点
$height$ 的正负取决于法向量的方向