MATLAB中FFT频谱分析使用详解

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筋斗云
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本文对matlab中fft的使用作出详细说明,并对频谱的双边、单边幅度谱与相位谱加以说明。

语法

Y = fft(X) Y = fft(X,N) Y = fft(X,N,dim) 

说明

FFT是DFT的快速算法,当FFT点数为2的整数次幂时,MATLAB可以使用FFT的快速算法;如果不是2的整数次幂,那么只能使用公式的算法,实质上未使用上快速算法,两者在计算时间上有差异。

1.Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

  • 如果 X 是向量,则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。即对于 Y = fft(X) 或 Y = fft(X,[],dim),Y的大小等于 X 的大小。
  • 如果 X 是矩阵,则 fft(X)X 的各列视为向量,并返回每列的傅里叶变换。
  • 如果 X 是一个多维数组,则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量,并返回每个向量的傅里叶变换。

2.Y = fft(X,N) 返回 N 点 DFT。即对于 Y = fft(X,n,dim),size(Y,dim)的值等于 n,而所有其他维度的大小保持与在 X中相同。

  • 如果 X 是向量且 X 的长度小于 N,则为 X 补上尾零以达到长度 N。(下文有举例)
  • 如果 X 是向量且 X 的长度大于 N,则对 X 进行截断以达到长度 N。(下文有举例)
  • 如果 X 是矩阵,则每列的处理与在向量情况下相同。
  • 如果 X 为多维数组,则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同。

3.Y = fft(X,N,dim) 返回沿维度 dim 的傅里叶变换。例如,如果 X 是矩阵,则 fft(X,N,2) 返回每行的 N 点傅里叶变换。(下文有举例)


接下来对上述三种用法进行举例,实际绘制频谱中频谱分为单边谱和双边谱的绘制,在三种用法举例中顺带将这两种绘制方式一并列出了。

语法一:Y = fft(X)

fft(X)返回X长度的傅里叶变换

使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量,其中使用单边谱的绘制方式呈现频谱图。

例:指定信号的参数,采样频率为 1 kHz,信号持续时间为 1.5 秒(即1500个信号点)。

clear all;close all;clc; %清理工作区,关闭所有窗口,清空文本  Fs = 1000;            % Sampling frequency                     T = 1/Fs;             % Sampling period        L = 1500;             % Length of signal t = (0:L-1)*T;        % Time vector  %构造一个信号,其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 150 Hz 正弦量。 S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*150*t); X = S + 2*randn(size(t));%用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。  %% 绘制时域信号图 %在时域中绘制含噪信号。通过查看信号 X(t) 很难确定频率分量。 subplot(141); plot(t,X); title("Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise") xlabel("t (seconds)") ylabel("X(t)")  subplot(143); plot(t,S); title("Original Signal") xlabel("t (seconds)") ylabel("X(t)")  %% 计算加噪声信号的傅里叶变换 Y = fft(X);%此用法的fft点数为X的点数即1500 N = L;%fft点数为信号长度 %计算双侧频谱 P2。然后基于 P2 和偶数信号长度 L 计算单侧频谱 P1。 P2 = abs(Y/N);%/N是对幅度的修正 P1 = P2(1:N/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);%第一个点为直流分量,是真实的幅值,保持不变;从第二个开始*2,由于DFT具有对称性看单边需要*2 f = (0:(N/2))*Fs/N;%其中Fs/N为频率分辨率  %定义频域 f 并绘制单侧幅值频谱 P1。与预期相符,由于增加了噪声,幅值并不精确等于 0.7 和 1。一般情况下,较长的信号会产生更好的频率逼近值。 subplot(142); plot(f,P1)  title("Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)") xlabel("f (Hz)") ylabel("|P1(f)|")  %% 现在,采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确幅值 0.7 和 1.0。 Y = fft(S); P2 = abs(Y/N); P1 = P2(1:N/2+1); P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);  subplot(144); plot(f,P1)  title("Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)") xlabel("f (Hz)") ylabel("|P1(f)|") 

使用fft(X)求得频谱绘制的单边谱如下:
在这里插入图片描述

语法二:Y = fft(X,N)

如果 X的长度小于 N,则为 X补上尾零以达到长度 N(FFT插值)

通过填充零来对信号的傅里叶变换进行插值。

例:指定信号的参数,采样频率为 80 Hz,信号持续时间为 0.8 秒。

clear all;close all;clc; %清理工作区,关闭所有窗口,清空文本 Fs = 80; T = 1/Fs; L = 65; t = (0:L-1)*T;  %创建一个 2 Hz 正弦信号及其高次谐波的叠加。该信号包含一个 2 Hz 余弦波、一个 4 Hz 余弦波和一个 6 Hz 正弦波。 X = 3*cos(2*pi*2*t) + 2*cos(2*pi*4*t) + sin(2*pi*6*t);  %在时域中绘制该信号。 subplot(131); figure(1); plot(t,X) title("Signal superposition in time domain") xlabel("t (ms)") ylabel("X(t)")  %计算信号的傅里叶变换。 Y = fft(X);%不补零时  %计算信号的单侧幅值频谱。 f1 = Fs*(0:(L-1)/2)/L; P2 = abs(Y/L); P1 = P2(1:(L+1)/2); P1(2:end) = 2*P1(2:end);  %在频域中绘制单侧频谱。由于信号的时间采样相当短,傅里叶变换的频率分辨率不够精确,不足以显示 4 Hz 附近的峰值频率。 subplot(132); plot(f1,P1,"-o")  title("Single-Sided Spectrum of Original Signal") xlabel("f (Hz)") ylabel("|P1(f)|")  %% 为了更好地评估峰值频率,您可以通过用零填充原始信号来增加分析窗的长度。这种方法以更精确的频率分辨率自动对信号的傅里叶变换进行插值。 %从原始信号长度确定是下一个 2 次幂的新输入长度。用尾随零填充信号 X 以扩展其长度。计算填零后的信号的傅里叶变换。 N = 2^nextpow2(L); Y = fft(X,N); %计算填零后的信号的单侧幅值频谱。由于信号长度 n 从 65 增加到 128,频率分辨率变为 Fs/n,即 0.625 Hz。  f2 = Fs*(0:(N/2))/N; P4 = abs(Y/L); P3 = P4(1:N/2+1); P3(2:end-1) = 2*P3(2:end-1); %绘制填零后的信号的单侧频谱。此新频谱在 0.625 Hz 的频率分辨率内显示 2 Hz、4 Hz 和 6 Hz 附近的峰值频率。 subplot(133); plot(f2,P3,"-o")  title("Single-Sided Spectrum of Padded Signal") xlabel("f (Hz)") ylabel("|P3(f)|") 

填充零来对信号的傅里叶变换进行插值效果对比如下图:
在这里插入图片描述
需要注意的是:

1.由于进行fft点数的不同,将双边谱转换为单边谱的计算有所区别。如代码中25行以及43行所示。

2.补零后,频率分辨率由原来的Fs/L变为Fs/N,补零以后能改善栅栏效应,使原先不清晰的谱线显现。虽然数据长度在补零后增长到N,但其有效长度还应该是L,且计算幅值是要以有效长度来计算的。参看代码23行和41行。参看FFT中的补零问题_fft补零的效果更加明显。

双边谱转换为单边谱

解释如下(注意MATLAB中的向量索引从1开始,以下解释为0开始):
假设序列{y}的DFT序列{Y}长度也为N,表示为:
在这里插入图片描述
根据傅立叶变换的理论,这个序列中的后半部分实际上表示的是负频率信息。实序列的傅立叶变换的元素间存在共轭关系:
在这里插入图片描述
其中,常数s为:
img
这样,当N是奇数时,可以将序列{Y}表示为:
img
单边谱是长度为(N+1)/2的序列
img
N是偶数时,序列{Y}可以表示为:
img
单边谱是长度为(N/2)+1的序列
img
此处权系数取法是w1=1,w2=2。
具体参看:信号处理:单边、双边频谱间的相互转换

作者拙见,供参考:DFT序列Y0为直流分量,余下的序列存在共轭关系。点数N为奇数时,除去Y0,余下序列为偶数均能成对共轭,各占了一半,转换为单边谱时乘2;点数N为偶数时,除去Y0,余下序列为奇数,中间空下一个不能成对被共用,不必乘2,成对的转换为单边谱需要乘2。

如果 X 的长度大于 N,则对 X 进行截断以达到长度 N。

如果 n 小于信号的长度,则 fft 忽略第 n 个条目之后的其余信号值,并返回截断后的结果。
使用傅里叶变换求两种频率分量拼的信号,其中使用双边谱的绘制方式呈现频谱图。

例:前1024个点为幅值为2,频率为50的信号;后1024个点为幅值为2,频率为100的信号;共2048个点。

fft(X,N)中的N取1000时可以看到频谱只有一个50的频率,由于是双边谱所以幅值各占一半。为什么只有一个频率啦,由于X信号的长度大于 N,所以将信号进行了截断,取前1000个点周期延拓求频谱。

clear all;close all;clc; %清理工作区,关闭所有窗口,清空文本  % 参数设置 fs = 1000;         % 采样率 f_signal1 = 50;    % 正弦信号频率1 f_signal2 = 100;    % 正弦信号频率2 t1 = 0:1/fs:(1024-1)/fs;  t2 = 1024/fs:1/fs:(2048-1)/fs;  % 生成正弦信号 signal1 = 2*sin(2*pi*f_signal1*t1); signal2 = 2*sin(2*pi*f_signal2*t2);  %合并两不同频率信号  t = [t1 t2]; signal = [signal1 signal2]; N = 2048;        %fft点数   %计算fft频率轴,显示为频率f= n*(fs/N) f = (0:N-1)*fs/N; % 计算fftshift频率轴 fshift = (-N/2:N/2-1)*(fs/N);%注意范围 % 进行FFT fft_signal =(abs(fft(signal,N)))/N;%此用法设置FFT点数为N fft_signal_shift = fftshift(fft_signal);  %% 绘制时域图和频谱图 figure(1); % 时域图 - 原始信号 subplot(1, 3, 1); plot(t, signal); title('Original Signal in Time Domain'); xlabel('Time (s)'); ylabel('Amplitude');  % 频谱图 - 原始信号 subplot(1, 3, 2); plot(f, fft_signal); title('Original Signal Spectrum(fft 2048)'); xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Magnitude');  % 频谱图 - 原始信号 subplot(1, 3, 3); plot(fshift, fft_signal_shift); title('Original Signal Spectrum'); xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Magnitude'); 

N取1000时的时域和频谱图:
在这里插入图片描述
N取2048时的频谱图:
可以看出由于频率分辨率和截断(此处相当于加矩形窗)带来的频谱泄露的问题。此时出现两个频率分量。
在这里插入图片描述
使用fft绘制的频谱图如下:
可以看出直接FFT的结果包含了各一半的两种频率分量。
在这里插入图片描述

语法三:Y = fft(X,N,dim)

dim — 沿其运算的维度 为正整数标量
沿其运算的维度,指定为正整数标量。如果不指定维度,则默认为第一个大于 1 的数组维度。

fft(X,[],1) 沿 X 的各列进行运算,并返回每列的傅里叶变换。
在这里插入图片描述
fft(X,[],2) 沿 X 的各行进行运算,并返回每行的傅里叶变换。
在这里插入图片描述
如果 dim 大于 ndims(X),则 fft(X,[],dim) 返回 X。当指定 n 时,fft(X,n,dim) 将对 X 进行填充或截断,以使维度 dim 的长度为 n。

即dim=1,指定参数沿 X 的列使用 fft; dim =2 ,指定参数沿 X 的行使用 fft。(此处以dim =2 的行运算举例):

clear all;close all;clc; %清理工作区,关闭所有窗口,清空文本 Fs = 1000;                    % Sampling frequency T = 1/Fs;                     % Sampling period L = 1000;                     % Length of signal t = (0:L-1)*T;                % Time vector  %创建一个矩阵,其中每一行代表一个频率经过缩放的余弦波。结果 X 为 3×1000 矩阵。第一行的波频为 50,第二行的波频为 150,第三行的波频为 300。 x1 = cos(2*pi*50*t);          % First row wave x2 = cos(2*pi*150*t);         % Second row wave x3 = cos(2*pi*300*t);         % Third row wave  X = [x1; x2; x3];%X为3*1000double型  %在单个图窗中按顺序绘制 X 的每行的前 100 个项,并比较其频率。 figure(1); for i = 1:3     subplot(3,1,i)     plot(t(1:100),X(i,1:100))     title("Row " + num2str(i) + " in the Time Domain") end  %指定 dim 参数沿 X 的行(即对每个信号)使用 fft。 dim = 2; %计算信号的傅里叶变换。 Y = fft(X,L,dim); %计算每个信号的双侧频谱和单侧频谱。 P2 = abs(Y/L); P1 = P2(:,1:L/2+1); P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);  %在频域内,为单个图窗中的每一行绘制单侧幅值频谱。 figure(2); for i=1:3     subplot(3,1,i)     plot(0:(Fs/L):(Fs/2-Fs/L),P1(i,1:L/2))     title("Row " + num2str(i) + " in the Frequency Domain") end 

时域波形:
在这里插入图片描述
单边幅值频谱图:
在这里插入图片描述

相位

创建一个由频率为 15 Hz 和 40 Hz 的两个正弦波组成的信号。第一个正弦波是相位为 −π/4 的余弦波,第二个正弦波是相位为 π/2 的余弦波。以 100 Hz 的频率对信号进行 1 秒钟的采样。

clear all;close all;clc; %清理工作区,关闭所有窗口,清空文本 Fs = 100; t = 0:1/Fs:1-1/Fs; x = cos(2*pi*15*t - pi/4) + cos(2*pi*40*t + pi/2);  %计算信号的傅里叶变换。将变换幅值绘制为频率函数。 y = fft(x); z = fftshift(y); figure(1); ly = length(y); f = (-ly/2:ly/2-1)/ly*Fs; stem(f,abs(z)) title("Double-Sided Amplitude Spectrum of x(t)") xlabel("Frequency (Hz)") ylabel("|y|") grid  %计算变换的相位,删除小幅值变换值。将相位绘制为频率函数。 tol = 1e-6; z(abs(z) < tol) = 0;%删除小幅值变换值  theta = angle(z);  figure(2); stem(f,theta/pi) title("Phase Spectrum of x(t)") xlabel("Frequency (Hz)") ylabel("Phase/\pi") grid 

幅度和相位谱:
在这里插入图片描述

补充

向量的离散傅里叶变换

Y = fft(X)X = ifft(Y) 分别实现傅里叶变换和傅里叶逆变换。对于长度为 nXY,这些变换定义如下:
在这里插入图片描述

频谱泄露的解释

文章FFT中的补零问题_fft补零3.1 频谱泄漏仿真分析处及之后部分。

参考:

快速傅里叶变换 - MATLAB fft - MathWorks 中国

matlab信号频谱分析FFT详解_fft频谱图怎么看

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