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1、二叉搜索树
1.1 二叉搜索数的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
我们先给出两个示例：
此二叉树就不是搜索二叉树，根据性质来看，每颗子树也是二叉搜索树，红圈圈起来的地方显然是违背了这个性质。
此搜索二叉树按性质来看是完全满足的，因此此二叉树就是二叉搜索树。
1.2 二叉搜索树的操作
二叉搜索树的操作包含，增删查，下面我们就来分别模拟实现这些接口。
1.2.1 二叉搜索树的查找
思路：
a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
查找比较好理解，这里就不画图了，直接开始写代码。
1.查找的非递归方法：
bool Find(const K& key) { Node* root = _root; while (root) { if (key > root->_key) root = root->_right; else if (key < root->_key) root = root->_left; else return true; } return false; } 2.查找的递归方法：
bool FindR(const K& key) { return _FindR(_root, key); } bool _FindR(Node* root, const K& key) { if (nullptr == root) return false; if (key > root->_key) return _FindR(root->_right, key); else if (key < root->_key) return _FindR(root->_left, key); else return true; } 在递归查找中，我们用户在使用的时候只需要填入要查找的数字，但是我们的查找接口需要两个参数，开始节点与查找数值，因此我们在 FindR 下再封装一层 _FindR 就可以实现了。
1.2.2 二叉搜索树的插入
二叉搜索树的插入思路：
a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点
我们先来以图例演示一遍过程：
对下面这棵树插入一个值为11的节点
这里是成功插入的情况，具体过程是上面的图例，我们在梳理一遍：
1、首先，我们用两个结点指针 parent和cur ，cur不断寻找正确插入位置，parent不断记下来cur的父节点指针；
2、当 cur 找到正确位置之后，先 new 一个节点对象给 cur，此时 new 出来的对象只是给了 cur 这个指针变量，并没有链接起来；
3、判断要插入的位置是 parent 的左孩子还是右孩子，再将其链接到正确位置插入就算完成了。
失败情况：
因为是二叉搜索树，节点左子树的值全小于节点的值，右子树的值全大于节点的值，不存在相等的情况，因此当找到一个节点的值与要插入的值相等时，就是插入失败，此时返回false。
根据上面的图示以及过程的梳理我们来写非递归版本的代码：
bool Insert(const K& key) { if (nullptr == _root) { _root = new Node(key); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (key > cur->_key) { parnet = cur; cur = cur->_right; } else if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key); if (key > parent->_key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } insert接口我们只提供非递归版本的。
1.2.3 二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情
况：
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程
如下：
情况b：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点–直接删除
情况c：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点–直接删除
情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点
中，再来处理该结点的删除问题–替换法删除
1、删除节点没有左孩子
// 1、左为空 if (cur->_left == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_right; } if (parent->_left == cur) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } 2、删除节点没有右孩子
// 2、右为空 else if (cur->_right == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_left; } if (parent->_left == cur) { parent->_left = cur->_left } else { parent->_right = cur->_left; } } 3、删除节点左右孩子都存在
// 3、左右都不为空 else { Node* parent = cur; Node* subLeft = cur->_right; while (subLeft->_left) { parent = subLeft; subLeft = subLeft->_left; } swap(cur->_key, subLeft->_key); if (subLeft == parent->_left) parent->_left = subLeft->_right; else parent->_right = subLeft->_right; delete(subLeft); } 整个删除接口合在一起的代码：
bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (key > cur->_key) { parnet = cur; cur = cur->_right } else if (key < cur->_key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { // 1、左为空 if (cur->_left == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_right; } if (parent->_left == cur) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } delete(cur); } // 2、右为空 else if (cur->_right == nullptr) { if (cur == _root) { _root = cur->_left; } if (parent->_left == cur) { parent->_left = cur->_left } else { parent->_right = cur->_left; } delete(cur); } // 3、左右都不为空 else { Node* parent = cur; Node* subLeft = cur->_right; while (subLeft->_left) { parent = subLeft; subLeft = subLeft->_left; } swap(cur->_key, subLeft->_key); if (subLeft == parent->_left) parent->_left = subLeft->_right; else parent->_right = subLeft->_right; delete(subLeft); } } } } 递归版本：
递归版本与非递归版本类似，非递归版本中使用while循环来找key位置，递归就是不断调用自身来找key位置，当找到后，依然分三种情况来分析：左为空、右为空、左右都不为空。
递归版本中用引用来接受传来的root，因此不用考虑链接问题，也就不存在判断删除位置是父节点的左还是右，直接修改root即可。
1、左为空/左右都为空：先记下要删除的节点，再修改root，最后释放删除的节点。 Node* del = root; root = root->_right; delete(del);
2、右为空：先记下要删除的节点，再修改root，最后释放删除的节点。Node* del = root; root = root->_left; delete(del);
3、左右都不为空：先找到右子树的最左节点（最小值），交换 root->_key与subLeft->_key，右子树的最左节点一定是叶子节点，因此删除subLeft直接再去调用函数自身即可，即再来一次左右都为空（左为空）的删除。
bool EraseR(const K& key) { return _EraseR(_root, key); } bool _EraseR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) return false; if (root->_key < key) { _EraseR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { _EraseR(root->_left, key); } else { if (root->_left == nullptr) { Node* del = root; root = root->_right; delete(del);// 必须释放，不释放会导致内存泄漏 return true; } else if (root->_right == nullptr) { Node* del = root; root = root->_left; delete(del); return true; } else { Node* subLeft = root->_right; while (subLeft->_left) { subLeft = subLeft->_left; } swap(root->_key, subLeft->_key); return _EraseR(root->_right, key); } } } 2、二叉搜索树的应用
2.1 K模型
K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
- 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
- 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2.2 KV模型
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。 该种方式在现实生活中非常常见：
● 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
● 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
3、二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：log_2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：N
最差情况是退化为单支树，性能就变得很差了，因为后续我们将改进搜索二叉树的插入与删除，来实现平衡二叉搜索树，即AVL树与红黑树（RB树）。
4、K模型与KV模型完整代码
4.1 二叉搜索树的模拟实现（K模型）
namespace key { template <class K> struct BSTreeNode { BSTreeNode* _left; BSTreeNode* _right; K _key; BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) {} }; template <class K> class BSTree { typedef BSTreeNode<K> Node; public: bool Insert(const K& key) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key); if (parent->_key < key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return true; } } return true; } bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { // 删除分情况讨论： // 1. 左为空（左右都为空）；2. 右为空；3.左右都不为空 if (cur->_left == nullptr)// 左为空 { if (cur == _root)// 根节点是删除的节点情况 _root = cur->_right; else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete(cur); } else if (cur->_right == nullptr)// 右为空 { if (cur == _root)// 根节点是删除的节点情况 _root = cur->_left; else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete(cur); } else// 左右都不为空 { // 替换法，找左子树最大 / 右子树最小来替换cur Node* parent = cur; Node* subLeft = cur->_right; while (subLeft->_left) { parent = subLeft; subLeft = subLeft->_left; } swap(cur->_key, subLeft->_key); if (subLeft == parent->_left) parent->_left = subLeft->_right; else// 处理删除根节点的情况 parent->_right = subLeft->_right; delete(subLeft); } return true; } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } //递归 bool InsertR(const K& key) { return _InsertR(_root, key); } bool FindR(const K& key) { return _FindR(_root, key); } bool EraseR(const K& key) { return _EraseR(_root, key); } // C++11 BSTree() = default; // 强制编译器生成默认构造 BSTree(const BSTree<K>& t) { _root = Copy(t._root); } // 赋值重载，现代写法 BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) { swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { Destroy(_root); } private: Node* Copy(Node* root) { if (root == nullptr) return nullptr; Node* newRoot = new Node(root->_key); newRoot->_left = Copy(root->_left); newRoot->_right = Copy(root->_right); return newRoot; } void Destroy(Node*& root) { if (root == nullptr) return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); delete root; root = nullptr; } bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { root = new Node(key); return true; } if (root->_key < key) { _InsertR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { _InsertR(root->_left, key); } else { return false; } } bool _FindR(Node* root, const K& key) { if (root == nullptr) { return false; } if (root->_key < key) { _FindR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { _FindR(root->_left, key); } else { return true; } } bool _EraseR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) return false; if (root->_key < key) { _EraseR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { _EraseR(root->_left, key); } else { if (root->_left == nullptr) { Node* del = root; root = root->_right; delete(del);// 必须释放，不释放会导致内存泄漏 return true; } else if (root->_right == nullptr) { Node* del = root; root = root->_left; delete(del); return true; } else { Node* subLeft = root->_right; while (subLeft->_left) { subLeft = subLeft->_left; } swap(root->_key, subLeft->_key); return _EraseR(root->_right, key); } } } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; }; }; 4.2 KV模型的模拟实现
namespace kv { template <class K, class V> struct BSTreeNode { BSTreeNode<K, V>* _left; BSTreeNode<K, V>* _right; K _key; V _val; BSTreeNode(const K& key, const V& val) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) , _val(val) {} }; template <class K, class V> class BSTree { typedef BSTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const K& key, const V& val) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key, val); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key, val); if (parent->_key < key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { // 删除分情况讨论： // 1. 左为空（左右都为空）；2. 右为空；3.左右都不为空 if (cur->_left == nullptr)// 左为空 { if (cur == _root)// 根节点是删除的节点情况 _root = cur->_right; else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete(cur); } else if (cur->_right == nullptr)// 右为空 { if (cur == _root)// 根节点是删除的节点情况 _root = cur->_left; else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete(cur); } else// 左右都不为空 { // 替换法，找左子树最大 / 右子树最小来替换cur Node* parent = cur; Node* subLeft = cur->_right; while (subLeft->_left) { parent = subLeft; subLeft = subLeft->_left; } swap(cur->_key, subLeft->_key); if (subLeft == parent->_left) parent->_left = subLeft->_right; else// 处理删除根节点的情况 parent->_right = subLeft->_right; delete(subLeft); } return true; } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " : " << root->_val << endl; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; }; }; 