线性代数--矩阵计算(加减乘法)

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作者
猴君
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目录

 一、矩阵的基本概念

 1、行矩阵与列矩阵

2、零矩阵

3、负矩阵

 4、方阵

 1)、方阵的定义

 2)主对角线和次对角线

5、单位阵

 6、只有一个数字的矩阵

7、同型矩阵

二、矩阵与行列式的区别

 三、矩阵的运算

 1、加法、减法

2、数乘运算

 四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

2、矩阵乘法不满足的三条规律

 3、矩阵乘法的运算规律 

 4、矩阵的可交换

五、矩阵的幂运算

六、简单的矩阵运算,学到的知识点运用起来。


 一、矩阵的基本概念

  矩阵本质上是一个数表,用_{}A_{m*n}表示,代表一个m*n的矩阵,有m行n列。

矩阵的运用场景非常多,例如关系的表示等。

如下图就是一个4行4列的矩阵。

 1、行矩阵与列矩阵

 只有1行的矩阵叫做行矩阵

只有1列的矩阵叫做列矩阵

2、零矩阵

 矩阵内的所有元素都是0,记作O

3、负矩阵

 把原来矩阵的所有元素都取负号,为相反数,称为负矩阵。

例如A的负矩阵为-A

 4、方阵

 1)、方阵的定义

 行数等于列数的矩阵称为方阵,一般也称为n阶矩阵,即A_{n*n},亦A_{n}

例如下面这个矩阵,就是三行三列的矩阵。

 2)主对角线和次对角线

 只有在方阵中才有对角线的概念。如图:

5、单位阵

 对角线为1,其余元素为0,这种矩阵称为单位矩阵。记作E。

 6、只有一个数字的矩阵

 只有一个数字的矩阵也是矩阵,可视作特殊的矩阵。

例如:[5]

7、同型矩阵

两个矩阵形状一样,称为同型矩阵。即行数和列数相等。

例如:A_{2*3}B_{2*3}就是同型矩阵。

如果同型矩阵的对应元素相等,那么两个矩阵相等。即相等矩阵的前提是同型矩阵。

二、矩阵与行列式的区别

1、本质上,矩阵是一个数表,而行列式是一个数。

2、符号:矩阵使用 \left ( \right ) 或者 [ ],而行列式使用 \left | \right |

3、形状上,矩阵不一定是方阵,但是行列式一定是一个方阵,即行数等于列数。

 三、矩阵的运算

 1、加法、减法

对应元素相加减。(注意:只有同型矩阵才能相加减

矩阵加减法满足的运算法则也很简单:

A+B=B+A

(A+B+C) = A+(B+C)

A+(-A)=0

A+B = C \Leftrightarrow A = C - B

2、数乘运算

k乘以矩阵的所有元素。

矩阵数乘和行列式的区别

矩阵提公因子:矩阵所有元素均有公因子,公因子朝外提一次

行列式提公因子:一行(或者一列)提取一次,如果所有元素都有公因子,有n行则提n次。

矩阵数乘满足的运算规律:

k(A+B) = kA + kB

(k+m)A = kA + mA

k(mA) = kmA 

 四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

 第一行乘以第一列,先相乘后相加。

矩阵相乘的前提条件:第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数

结果矩阵的形状:结果矩阵的行等于第一个矩阵的行数,结果矩阵的列数等于第二个矩阵的列数。

宋氏七字:中间相等取两头!宋浩线代飞上天!

例如:A_{2*3} * A_{3*2}的结果矩阵就是2*2的方阵。

这个实在太刁了,哥们忍不住吟诗一首:

咏宋浩七字口诀

【现】

不用动脑经,不用花一秒。

捏决拿咒间,单走一个6字。

中间相等两头取,宋浩线代飞上天!

从此不愁线代妖,可喜可贺上大分!

做两个小题目练练手:

A_{99*55} * B_{55*200} = C_{99*200}

A_{s*h} * B_{h * m} = C_{s*m}

2、矩阵乘法不满足的三条规律

1)AB  !=  BA   一般不满足交换律 

例如:A_{5*2} B_{2 *3}可以相乘,满足中间相等。但是 B_{2 *3}A_{5*2} 就不可以,因为3和5中间不相等

矩阵乘法一般来说不满足交换,但是也存在交换的情况,此时满足AB = BA,这种情况叫做AB可交换

2)AB = 0 ,且A != 0  不能推出  B = 0

如果是数字运算中,xy = 0,可以推出x/y = 0;但是在矩阵运算中不可以

3)AB = AC ,且A != 0 不能推出B = C

同样的,在数字运算中,3x= 3y可以推出x=y,但是在矩阵运算中不可以

总结矩阵不满足的三条规律:

(1)AB ! = BA;     

(2)AB = AC,A!=0 不能推出 B = C;  

(3)AB = 0 不能推出A =0或B = 0; 

(任何矩阵和0矩阵相乘都等于0矩阵,由于矩阵乘法的特殊性,需要注意0矩阵的形状)

 3、矩阵乘法的运算规律 

1)结合律 (AB)C  = A(BC)

2)分配律 (A+B)C = AC + BC       C(A+B) =  CA + CB  (注意,由于矩阵乘法的特殊性,矩阵的左右位置是有严格意义的,不能随意换,即矩阵的乘法不满足交换律)

3)k(AB) = (kA)B = A(kB)    对于一个数字来说,位置可以随意放置

(注意,对于上述三个运算规律来说,要保持矩阵乘法的先后位置,左乘和右乘的位置不能变)

 4、矩阵的可交换

当AB = BA ,即A与B可以交换。当题目给你A与B可交换时,就在提醒你AB = BA

(相等矩阵:同型矩阵对应元素相等)

可交换的前提必须是同型方阵

否则:例如A_{2*3} B_{3*2} = C_{2*2}       AB的结果矩阵是2✖2的矩阵

                   B_{3*2}A_{2*3} = C_{3*3}        BA的结果矩阵式3✖3的矩阵

   这里结果明显是不相等的!所以,如果不是同型方阵是不可以交换的。首先结果矩阵的形状就要出错

五、矩阵的幂运算

(注意:矩阵的幂运算必须是方阵,保证连续运算)

矩阵的幂运算:A^{k} = AA...A   

其中A^{_{0}} = E

性质1)A^{^k{1}} A^{k^{_{2}}} = A^{^{k1 + k2}}

性质2)(A^{^{k1}})^{^{k2}} = A^{^{k1k2}}

(再次注意:矩阵的乘法不满足交换律)

 (AB)^{k^{}}  ! = A^{^{k}}B^{^{k}}

例如:(AB)^{^{2}} != A^{_{2}} B^{^{2}} 

 为什么不相等?

因为:(AB)^{^{2}} = ABAB

          A^{_{2}} B^{^{2}}   =  AABB

我们永远要记住:矩阵的乘法不满足交换律,因此上式明显式不相等的。

除非AB可交换,即AB = BA.

同时:

(A+B)^{^{2}} !=  A^{_{2}} + 2ABB^{^{2}}

证明:(A+B)(A+B) = (A+B)A + (A+B)B = A^{_{2}} + BA + AB + B^{^{2}}

很明显,2AB != BA + AB 

同理:

(A-B)^{2^{}}  != A^{_{2}} - 2ABB^{^{2}}

证明:(A-B)(A-B) = (A-B)A - (A-B)B = A^{_{2}} - BA - AB + B^{^{2}}

很明显,2AB != -BA - AB 

永远记住!!!!!!!

矩阵乘法要严格注意AB的先后位置位置的变化是会影响运算结果的

(因为矩阵的乘法是第一个矩阵的   乘以    第二个矩阵的

但是,对于(A + E)^{2^{}} =  A^{_{2}} + AE + EA + B^{^{2}}

                  (A - E)^{2^{}} = A^{_{2}} - AE - EA + B^{^{2}}

                 对于上两式来说,

任何矩阵乘以单位阵E的等于其本身,而对于单位阵来说,左乘和右乘是一样的。

故而,AE = EA , BE =EB

所以:

                  (A + E)^{2^{}} =  A^{_{2}} + 2AE + B^{^{2}}

                  (A - E)^{2^{}} = A^{_{2}} - 2AE  + B^{^{2}}

                    是成立的!

六、简单的矩阵运算,学到的知识点运用起来。

 例如

给两个方程组:x1  = y1 -y2            y1 = z1 + z2 + z3

                         x2 = y1 + y2           y2 = z1 -2z2 + z3

要求x1 和 x2 用z1 z2 z3表示

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