力扣每日一题 6/28 动态规划/数组

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作者
猴君
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2742.给墙壁刷油漆【困难

题目:

给你两个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 cost 和 time ,分别表示给 n 堵不同的墙刷油漆需要的开销和时间。你有两名油漆匠:

  • 一位需要 付费 的油漆匠,刷第 i 堵墙需要花费 time[i] 单位的时间,开销为 cost[i] 单位的钱。
  • 一位 免费 的油漆匠,刷 任意 一堵墙的时间为 1 单位,开销为 0 。但是必须在付费油漆匠 工作 时,免费油漆匠才会工作。

请你返回刷完 n 堵墙最少开销为多少。

示例 1:

输入:cost = [1,2,3,2], time = [1,2,3,2] 输出:3 解释:下标为 0 和 1 的墙由付费油漆匠来刷,需要 3 单位时间。同时,免费油漆匠刷下标为 2 和 3 的墙,需要 2 单位时间,开销为 0 。总开销为 1 + 2 = 3 。 

示例 2:

输入:cost = [2,3,4,2], time = [1,1,1,1] 输出:4 解释:下标为 0 和 3 的墙由付费油漆匠来刷,需要 2 单位时间。同时,免费油漆匠刷下标为 1 和 2 的墙,需要 2 单位时间,开销为 0 。总开销为 2 + 2 = 4 。 

提示:

  • 1 <= cost.length <= 500
  • cost.length == time.length
  • 1 <= cost[i] <= 10**6
  • 1 <= time[i] <= 500

分析问题:

思路一:

        首先,我们需要理解问题的本质是在给定成本和时间的列表情况下,找到满足一定体积需求的最小花费。这个问题通过定义一个 dfs 函数来解决,函数中的参数 i 表示当前考虑的物品索引,j 表示剩余需要的体积

        接下来,分析 dfs 函数的逻辑。当 j <= 0 时,表示剩余需要的体积已经满足要求,不需要再选择物品,所以返回 0 。当 i < 0 且 j > 0 时,表示没有物品可选但仍有剩余体积需求,这是不合法的情况,所以返回正无穷大 inf 。对于其他情况,有两种选择:一是选择当前物品,此时需要花费 cost[i] ,剩余需要的体积变为 j - time[i] - 1 ,然后递归调用 dfs(i - 1, j - time[i] - 1) ;二是不选择当前物品,直接递归调用 dfs(i - 1, j) 。函数返回这两种选择中的最小值。

        然后,要注意到使用了 @cache 装饰器进行记忆化搜索。这是为了避免重复计算相同的子问题,提高算法的效率。

        最后,在 paintWalls 方法中,通过获取 cost 列表的长度 n ,然后调用 dfs(n - 1, n) 来计算最小的花费。

思路二:

        首先,定义两个匿名函数 min 和 max ,分别用于求两个数中的最小值和最大值。

        然后,获取 cost 列表的长度 n ,并初始化一个列表 f 。 f[0] 设为 0 , f[1] 到 f[n] 设为正无穷大 inf 。

        接下来,通过遍历 cost 和 time 列表的对应元素 c 和 t ,进行动态规划的计算

        对于每个 c 和 t ,从 n 到 1 逆序遍历 f 列表。对于每个 j ,更新 f[j] 的值。更新的方式是取当前的 f[j] 和 f[max(j - t - 1, 0)] + c 中的最小值。 max(j - t - 1, 0) 表示在考虑当前时间 t 的情况下,能够完成的工作量对应的索引。通过这种方式,我们在每个位置 j 上,都找到了使用前 j 个物品能够达到的最小花费。

        最后,函数返回 f[n] ,即使用所有物品能够达到的最小花费。

 

代码实现:

思路一代码实现:
class Solution:     def paintWalls(self, cost: List[int], time: List[int]) -> int:         @cache  # 记忆化搜索         def dfs(i: int, j: int) -> int:  # j 表示剩余需要的体积             if j <= 0:  # 没有约束,后面什么也不用选了                 return 0             if i < 0:  # 此时 j>0,但没有物品可选,不合法                 return inf             return min(dfs(i - 1, j - time[i] - 1) + cost[i], dfs(i - 1, j))         n = len(cost)         return dfs(n - 1, n) 


思路二代码实现:
class Solution:     def paintWalls(self, cost: List[int], time: List[int]) -> int:         # 定义一个匿名函数min,用于求两个数的最小值         min = lambda a, b: b if b < a else a         # 定义一个匿名函数max,用于求两个数的最大值         max = lambda a, b: b if b > a else a         n = len(cost)         # 初始化一个列表f,f[0]为0,f[1]到f[n]为正无穷大         f = [0] + [float('inf')] * n         # 遍历cost和time列表的对应元素         for c, t in zip(cost, time):             # 从n到1逆序遍历f列表             for j in range(n, 0, -1):                 # 更新f[j]的值,取当前f[j]和f[max(j - t - 1, 0)] + c的最小值                 f[j] = min(f[j], f[max(j - t - 1, 0)] + c)         # 返回f[n],即完成所有工作的最小花费         return f[n]

 


总结:

 思路一代码详解:
  1. 定义了一个内部的 dfs 函数,该函数使用了记忆化搜索(通过 @cache 装饰器实现)。dfs 函数接受两个参数:i 表示当前考虑的物品索引,j 表示剩余需要的体积。
  2. 在 dfs 函数中,如果 j <= 0 ,表示剩余需要的体积已经满足要求,不需要再选择物品,返回 0 。
  3. 如果 i < 0 且 j > 0 ,表示没有物品可选但仍有剩余体积需求,这种情况是不合法的,返回 inf (表示正无穷大)。
  4. 对于其他情况,有两种选择:
    • 选择当前物品(索引为 i ),那么需要花费 cost[i] ,并且剩余需要的体积变为 j - time[i] - 1 ,然后递归调用 dfs(i - 1, j - time[i] - 1) 。
    • 不选择当前物品,直接递归调用 dfs(i - 1, j) 。
  5. 最后,函数返回这两种选择中的最小值。
  6. 在 paintWalls 方法中,首先获取 cost 列表的长度 n ,然后调用 dfs(n - 1, n) 来计算最小的花费。

        总的来说,这段代码的目的是通过递归的方式,在考虑每个物品的选择与否的情况下,计算出满足剩余体积需求的最小花费。记忆化搜索的使用可以避免重复计算,提高算法的效率


考点

  1. 动态规划:两段代码都运用了动态规划的思想来解决问题。通过定义合适的状态(如代码中的 f 数组)和状态转移方程(如更新 f[j] 的值),来逐步求解最优解。
  2. 函数定义与使用:代码中定义了匿名函数(如 min 和 max 函数)来简化比较和操作。
  3. 列表操作:涉及到列表的初始化、遍历(正序和逆序)以及元素的更新。
  4. 逻辑推理与问题分析:需要理解问题的要求,找出合适的解法,并将其转化为代码实现。

 

收获

  1. 深入理解动态规划的概念和应用:通过实际解决这个问题,更加熟悉如何根据问题的特点定义状态和状态转移方程,从而有效地运用动态规划来求解最优解。
  2. 提高函数使用和定义的能力:学会了使用匿名函数来简洁地表达一些常见的操作,增强了代码的可读性和简洁性。
  3. 增强对列表数据结构的操作能力:包括列表的初始化、遍历和元素的修改,能够更加熟练地运用列表来解决实际问题。
  4. 培养逻辑思维和问题分析能力:在理解问题的基础上,能够将其转化为有效的算法和代码实现,提高了解决复杂问题的能力。
  5. 学会从不同的角度思考问题:两段代码虽然都解决了同一个问题,但实现方式略有不同,通过对比学习,可以拓宽解题思路,提高解决问题的灵活性。

“祈愿万家灯火熨烫过脉络,刀山与火海多深刻,都陪你渡过。”——《不痛》 

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