2.1-RNN-概率和语言模型

文章目录

• 1语言模型的概念
• 2概率视角下的word2vec
• 3能否将word2vec用作语言模型
• 4 RNN
• • 4.1 RNN层的简单结构
  • 4.2 RNN层的循环结构
  • 4.3 RNN的反向传播
  • 4.4 Truncated BPTT
  • 4.5 Truncated BPTT的mini-batch学习
  • • 4.5.1不考虑mini-batch
    • 4.5.2考虑mini-batch

1语言模型的概念

1. 语言模型使用概率来评估一个单词序列发生的可能性，即在多大程度上是自然的单词序列

   1. 例如在语音识别中，系统会根据人的发言生成多个句子作为候选；此时，使用语言模型，可以按照“作为句子是否自然”这一基准对候选句子进行排序；即按照每个句子是自然的句子的概率来排序；

2. 用后验概率来表示一个句子（语言模型）：

   1. 考虑由$m$个单词$w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m$构成的句子，将单词按$w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m$的顺序出现的概率记为$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)$​；因为这个概率是多个事件一起发生的概率，所以称为联合概率；

   2. 根据概率的知识，两个事件同时发生的概率可以用条件概率来表示，如下式所示；至于谁是谁的条件都可以，这里并没有明确的先后顺序；
      $$P(A,B)=P(A|B)P(B)\text{\hspace{1em}(1)}$$
      即$A$和$B$两个事件共同发生的概率$P(A,B)$是$B$发生的概率$P(B)$和$B$发生后$A$发生的概率$P(A|B)$​的乘积。

   3. 基于这个概率公式，我们可以对上面的联合概率$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)$​进行分解，分解过程如下：

      1. 首先，令$A=w_1,\cdot \cdot \cdot w_{m-1}$，则有：
         $$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)=P(A,w_m)=P(w_m|A)P(A)\text{\hspace{1em}(2)}$$

      2. 类似地，令$A^{{}^{\prime }}=w_1,\cdot \cdot \cdot w_{m-2}$，则有：
         $$P(A)=P(A^{{}^{\prime }},w_{m-1})=P(w_{m-1}|A^{{}^{\prime }})P(A^{{}^{\prime }})\text{\hspace{1em}(3)}$$

      3. 以此类推，我们最终可以将联合概率分解为：
         $$\begin{array}{rl}P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)& =P(w_m|w_1,\cdots ,w_{m-1})P(w_{m-1}|w_1,\cdots ,w_{m-2})...P(w_3|w_1,w_2)P(w_2|w_1)P(w_1)\\ & =\prod _{t=1}^{m}P(w_t|w_1,\cdots ,w_{t-1})\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
         即联合概率可以表示为后验概率的乘积。放到句子中就是：以目标词左侧的全部单词为上下文(条件)的后验概率表示到目标词为止的句子的概率。也就是说，要求语言模型的联合概率$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)$，只需要求式(4)中的$P(w_t|w_1,\cdots ,w_{t-1})$。

2概率视角下的word2vec

以CBOW模型为例。

1. CBOW模型是用目标词左右的上下文单词来预测中间的词；在1.6自然语言的分布式表示-word2vec补充说明.md中我们说过，CBOW可以用概率建模为$P(w_t|w_{t-1},w_{t+1})$；并结合交叉熵损失函数进一步转换为$L=-\log P(w_t|w_{t-1},w_{t+1})$；
2. 如果只考虑目标词左侧的窗口，窗口大小设置为2；即考虑目标词左侧的2个单词；则CBOW可以用概率建模为$P(w_t|w_{t-2},w_{t-1})$；

3能否将word2vec用作语言模型

1. 概括
   1. word2vec 是以获取单词的分布式表示为目的的方法，因此一般不会用于语言模型
   2. 基于 RNN 的语言模型虽然也能获得单词的分布式表示，但是为了应对词汇量的增加、提高分布式表示的质量，word2vec 被提了出来。

1. 语言模型的联合概率$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)$是需要求句子中每个单词的$P(w_t|w_1,\cdots ,w_{t-1})$，然后相乘；我们如果在CBOW模型中限定只考虑目标词左侧的窗口，窗口大小设置为2，那么语言模型的联合概率$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)$可以近似表示为下式：
   $$P(w_1,\cdot \cdot \cdot ,w_m)=\prod _{t=1}^{m}P(w_t|w_1,\cdots ,w_{t-1})\approx \prod _{t=1}^{m}P(w_t|w_{t-2},w_{t-1})\text{\hspace{1em}(5)}$$

2. 由于这个上下文窗口大小是可以设置的，因此我们可以将其扩大，这样可以考虑足够长的上文单词；

3. 但是需要注意的是，虽然上下文窗口大小是可以设置的，但是必须是固定的，因为CBOW模型的结构中，我们需要根据上下文窗口大小去生成相应数量的输入层；

4. 那么，既然是固定的，就可能存在一个很长的句子，我们的上下文窗口没法完全覆盖，那就存在信息的丢失；下图是书上的一个例子：

   

5. 另外，对于word2vec模型，没有去考虑单词的顺序；例如在CBOW模型中，我们是直接将多个输入层的输出结果相加再求平均的，是没有顺序的；当然，针对这个问题也有相关的改进，比如在中间层拼接上下文的单词向量，这虽然能够将顺序的信息加入，但是当上下文单词很多时，权重参数的数量将与上下文大小成比例地增加，如下图所示：

   

6. 因此，word2vec模型不适合来表示语言模型；

4 RNN

Recurrent Neural Network 通常译为“循环神经网络”。另外， 还有一种被称为 Recursive Neural Network（递归神经网络）的网络。这个网络主要用于处理树结构的数据，和循环神经网络不是一个东西。

4.1 RNN层的简单结构

1. 循环神经网络得有循环吧；那这个循环直观体现在RNN层的结构上；

2. RNN层的结构如下图所示：

   1. 时序数据$({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_t,\cdots )$会被输入到RNN层中；时刻$t$的输入是${\mathbf{x}}_t$，得到输出${\mathbf{h}}_t$；整个时序数据的输出就是$({\mathbf{h}}_0,{\mathbf{h}}_1,\cdots ,{\mathbf{h}}_t,\cdots )$​；
   2. 在各个时刻输入的${\mathbf{x}}_t$都是向量；对应到句子里面，每个时刻输入的就是某个单词的向量表示；
   3. 下图中输出侧有分支，说明RNN层的输出被**复制**了，一个进入到后面的层， 一个又指向了自己；
   4. 通过这个指向自己的分支，形成循环；通过数据的循环，RNN 一边记住过去的数据，一边更新到最新的数据

   

3. 为了能够展示RNN层记住过去信息的特点，需要将上图旋转为下图的样子：

   

4.2 RNN层的循环结构

1. RNN的循环结构如下图所示：

   1. 在循环结构中我们可以引入时刻的概念：时刻$t$的输入数据为${\mathbf{x}}_t$；在自然语言处理的情况下，${\mathbf{x}}_t$就是第$t$个单词或者第$t$个RNN层，也可以说时刻$t$的单词或时刻$t$的RNN层；
   2. 各个时刻的 RNN 层接收传给该层的输入${\mathbf{x}}_t$和前一个 RNN 层的输出${\mathbf{h}}_{t-1}$；
   3. 这样的从左向右延伸的长神经网络，和我们之前看到的前馈神经网络的结构相同；但是需要注意的是，这里虽然展开成多个RNN层，但实际上都是一个层，换句话说，梯度反向传播时，更新的参数只有一组，而不是每个层都有自己的一组参数；

   

2. 单独看一下其中一个RNN层：根据输入和上一个时刻的输出，通过式(6)计算当前时刻的输出：

   1. 式中的${\mathbf{W}}_h$和${\mathbf{W}}_x$是两个权重矩阵，$\mathbf{b}$是偏置；
   2. 对于自然语言处理而言，当前时刻的${\mathbf{x}}_t$是一个单词的单词向量，即一个行向量；${\mathbf{W}}_x$作用于当前时刻输入，${\mathbf{W}}_h$作用于上一时刻的隐藏状态${\mathbf{h}}_{t-1}$，加上偏置后计算双曲正切，得到当前RNN层的输出${\mathbf{h}}_t$​；
   3. 这个${\mathbf{h}}_t$一方面向上输出到另一个层，另一方面向右输出到下一个 RNN 层（自身）。
   4. 设输入的单词向量的维数是$D$，隐藏状态向量的维数是$H$；${\mathbf{W}}_x$将输入变换到隐藏状态空间的维度，因此${\mathbf{W}}_x\in R^{D\times H}$；通过公式可以知道${\mathbf{h}}_t$与${\mathbf{x}}_t{\mathbf{W}}_x$的维度应该是一样的，即${\mathbf{h}}_t\in R^{1\times H}$；如此一来，可以推出其他各个量的形状；
   5. 整个公式的形状变化如式(7)所示；

   $${\mathbf{h}}_t=\tanh ({\mathbf{h}}_{t-1}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{x}}_t{\mathbf{W}}_x+\mathbf{b})\text{\hspace{1em}(6)}$$

   $$(1,H)=tanh((1,H)\cdot (H,H)+(1,D)\cdot (D,H)+(1,H))\text{\hspace{1em}(7)}$$

3. 经过上面的介绍可以看出，现在的输出${\mathbf{h}}_t$是由前一个输出${\mathbf{h}}_{t-1}$计算出来的；也就是说，RNN具有“状态”$\mathbf{h}$，并通过式(6)不断被更新，那么之后的${\mathbf{h}}_t$就具有了之前所有隐藏状态$\mathbf{h}$的信息；这就是说RNN层是“具有状态的层”或“具有存储（记忆）的层”的原因。

4.3 RNN的反向传播

1. 从RNN的结构来看，RNN除了像普通神经网络那样具有纵向的前向计算外，还在水平方向上有一个正向传播计算；但是都是可以遵循计算图的；

2. 由于水平方向上是按时间顺序展开计算的，即**按时间顺序展开的神经网络的误差反向传播法，因此称为基于时间的反向传播，Backpropagation Through Time，简称BPTT**。

3. 如下图所示是RNN在水平方向上反向传播的示意图：

   

4.4 Truncated BPTT

意思为被截断的BPTT。

当水平方向上的循环过长时，在反向传播时，需要保留的正向计算时的中间数据就越多，消耗的资源就越多，因此不能对整个时间序列来求梯度，需要进行截断；而且长度过长，梯度反向传播时可能也存在梯度消失等问题；

1. Truncated BPTT是什么：

   1. 将时间轴方向上过长的网络在合适的位置进行截断，从而创建多个小型网络，然后对截出来的小型网络执行误差反向传播法；
   2. 如下图所示，我们每10个单词进行一次截断；
   3. 像这样，只要将反向传播的连接截断，就不需要再考虑块范围以外的数据了，因此可以以各个块为单位（和其他块没有关联）完成误差反向传播法。

   

2. 反向传播被分成好多个部分，但是**正向传播是没有被截断的**；即上图中${\mathbf{h}}_9$依然会进入到下一个RNN层与${\mathbf{x}}_{10}$一起得到${\mathbf{h}}_{10}$；

4.5 Truncated BPTT的mini-batch学习

4.5.1不考虑mini-batch

1. 目前来说，我们可以先总结如下：
   1. RNN中，一个batch里面每条数据都是一个句子；每个batch输入每个句子的某个块的数据；下一个batch再输入这些句子下一个块的数据。
   2. 每个batch中，都使用每条句子的当前块的数据进行正向传播，然后反向传播计算梯度；
   3. 一般的神经网络是：一个batch就是把多个句子的全部数据输入进去；下一个batch就是另外一些句子了；

1. 在之前的word2vec的网络结构中，一个句子可以形成多个<上下文单词,目标词>对，我们将其输入到神经网络层中，计算中间结果；例如CBOW模型，我们可以用一个mini-batch将多个<上下文单词,目标词>对送入网络，但我们不需要去考虑每个<上下文单词,目标词>对谁在前，谁在后；

2. 但是RNN网络中，使用Truncated BPTT来进行模型学习时，根据截断的大小，一个句子会被相应的分成几块；那么这个句子的几个块需要按顺序输入到网络中，比如：

   1. 先输入第一个块的数据$({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,...,{\mathbf{x}}_9)$，进行正向传播和反向传播，如下图所示：

      

   2. 然后输入下一个块的数据$({\mathbf{x}}_{10},{\mathbf{x}}_{11},...,{\mathbf{x}}_{19})$，此时正向传播的计算需要前一个块最后的隐藏状态${\mathbf{h}}_9$；即正向传播是连续没有截断的；然后反向传播的时候依然是在这个块内进行，不接收前面的块的梯度，也不将梯度传递到下一个块；如下图所示：

      

   3. 依此类推，这个过程的学习顺序就是下图的样子：

      1. 每次都是一个块的数据进行前向计算，以及反向传播；
      2. 然后再来一个块的数据；
      3. 重复上述过程；
      4. 由此可知，RNN中的块是复用的，即每一组数据都按顺序输入到同一个块中；

      

4.5.2考虑mini-batch

示例为：对长度为1000的时序数据，以时间长度10为单位进行截断。此时， 如何将批大小设为 2 进行学习呢

1. 由于批处理大小为2，因此相当于一个批次可以同时处理两个句子对应的一个块的数据；因此我们可以把长度为1000的时序数据分成两个“句子”，每个“句子”的长度为500

2. 时间长度为10，因此第一个batch我们只能处理$({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,...,{\mathbf{x}}_9)$和$({\mathbf{x}}_{500},{\mathbf{x}}_{501},...,{\mathbf{x}}_{509})$，然后第二个batch处理处理$({\mathbf{x}}_{10},{\mathbf{x}}_{11},...,{\mathbf{x}}_{19})$和$({\mathbf{x}}_{510},{\mathbf{x}}_{511},...,{\mathbf{x}}_{519})$​；如下图所示；以此类推；