基于FPGA的数字信号处理（12）--定点数的舍入模式（3）收敛取整convergent

前言

在之前的文章介绍了定点数为什么需要舍入和几种常见的舍入模式。今天我们再来看看另外一种舍入模式：收敛取整convergent。

10进制数的convergent

convergent： 收敛取整。它的舍入方式和四舍五入非常类似，都是舍入到最近的整数，比如1.75 convergent到2，-0.25 convergent到0等。二者唯一的区别在于对0.5这类数据的处理上。

• 0.5这种处于中间，舍入到两边的整数距离都一样近，所以可以把它叫做 “中间数”

• round对于正的中间数的处理相当于向上取整，对于负的中间数相当于向下取整。例如0.5的round结果是1，-0.5的round结果是-1

• convergent对于中间数的处理是将其舍入到最近的偶数。例如0.5舍入到0，1.5舍入到2，-0.5舍入到0，-1.5舍入到-2

以-2到1.75之间的16个数据（步长0.25）为例，它们的convergent结果是这样的：

2进制数的convergent

2进制数的convergent和10进制的convergent类似。以Q4.2格式的定点数（字长4位，小数2位的有符号数）为例，对于负数的小数部分的处理：

• -2(d) = 10_00(b) convergent后的值为 -2，等价于 10，即舍弃小数部分后的值（10）
• -1.75(d) = 10_01(b) convergent后的值为 -2，等价于 10，即舍弃小数部分后的值（10）
• -1.5(d) = 10_10(b) convergent后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分（10）后再加1
• -1.25(d) = 10_11(b) convergent后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分（10）后再加1
• -1(d) = 11_00(b) convergent后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分后的值（11）
• -0.75(d) = 11_01(b) convergent后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分后的值（11）
• -0.5(d) = 11_10(b) convergent后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分（11）后再加1
• -0.25(d) = 11_11(b) convergent后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分（11）后再加1

对于0的处理：

• 直接舍弃小数部分。

对于正数的小数部分的处理：

• 1.75(d) = 01_11(b) convergent后的值为 2，此时溢出了，需要扩展位宽，处理方式也是舍弃小数部分（001）后再加1即010
• 1.5(d) = 01_10(b) convergent后的值为 2，此时溢出了，需要扩展位宽，处理方式也是舍弃小数部分（001）后再加1即010
• 1.25(d) = 01_01(b) convergent后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（01）的值
• 1(d) = 01_00(b) convergent后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（01）的值
• 0.75(d) = 00_11(b) convergent后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（00）的值再加1
• 0.5(d) = 00_10(b) convergent后的值为 1，等价于 01，即舍弃小数部分后（00）的值再加1
• 0.25(d) = 00_01(b) convergent后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分后（00）的值

总结一下，就是：

• 对于正数的convergent处理：首先舍掉小数位，然后加一个进位值：

  • 当小数部分的最高位为0时，说明这个数的小数部分是小于0.5的，所以不需要进位，此时的进位值为0。
  • 当小数部分的最高位为1且其他位不为全0时，说明这个数的小数部分是大于0.5的，所以需要进位，即此时的进位值为1。
  • 当小数部分的最高位为1且其他位为全0时，说明这个数的小数部分是等于0.5的，所以需要进位，因为进位是需要进到最近的偶数，所以还需要看整数部分的最低位，如果最低位为0，说明此时的整数部分就是最近的偶数整数，所以进位值为0；如果为1，则说明+1后的整数才是距离最近的偶数，所以进位值为1。

• 对于0的convergent处理：首先舍掉小数位，然后加一个进位值，该进位值恒定为0。

• 对于负数的convergent处理：首先舍掉小数位，然后加一个进位值：

  • 当小数部分的最高位为0时，说明这个数的小数部分是小于0.5的，而整数部分又是个负数，相当于二者的和的小数部分小于 -0.5。例如10.01是-1.75，它的小数部分.01是0.25，整数部分10是-2，二者相加是-2+0.25 = -1.75，所以它们的处理方式都是先舍弃小数位，然后加0。
  • 当小数部分的最高位为1且其他位不为全0时，说明这个数的小数部分是大于0.5的，而整数部分又是个负数，相当于二者的和的小数部分大于-0.5。例如10.11是-1.25，它的小数部分.11是0.75，整数部分10是-2，二者相加是-2+0.75 = -1.25。所以它们的处理方式都是先舍弃小数位，然后加1。
  • 当小数部分的最高位为1且其他位为全0时，说明这个数的小数部分是等于0.5的，此时需要舍入到最近的偶数，如果此时整数部分的最低位的值是1，说明此时最近的偶数还需要加1,；如果此时整数部分的最低位的值是0，说明最近的偶数就是这个整数部分。例如10_10是 -1.5，convergent后的值为 -2（10），10_10的整数部分为10，其最低位为0，所以最近的偶数就是整数部分的值，所以进位值为0，即10_10>>10+0>>10；或者11_10是 -0.5，convergent后的值为 0（00），11_10的整数部分为11，其最低位为1，所以最近的偶数是整数部分的值+1，所以进位值为1，即11_10>>11+1>>00。

上面的内容可以再精简：

• 当小数部分的最高位为0时，相当于整数部分 + 进位值，进位值等于0即小数部分的最高位
• 当小数部分的最高位为1且其他位不为全0时，相当于整数部分 + 进位值，进位值等于1即小数部分的最高位
• 当小数部分的最高位为1且其他位为全0时，相当于整数部分 + 进位值，进位值等于整数部分的最低位

下面以 用convergent的方式来实现Q4.2格式定点数转Q2.0格式定点数为例，Verilog代码如下：

module test(     input	[3:0]	data_4Q2,				//有符号数，符号1位，字长4位，小数2位	     output	[1:0]	data_2Q0				//有符号数，符号1位，字长2位，小数0位	 );  wire	carry;  assign	carry = (data_4Q2[1] && ~data_4Q2[0]) ? data_4Q2[2] : data_4Q2[1];				 assign	data_2Q0 = data_4Q2[3:2] + carry;	//舍弃低位（即整个小数部分）后再加进位  endmodule 

因为一共只有16个数，所以我们可以用穷举的方式来测试，TB如下：

`timescale 1ns/1ns module test_tb();  reg	 [3:0]	data_4Q2;			//有符号数，符号1位，整数2位，小数2位	 wire [1:0]	data_2Q0;			//有符号数，符号1位，整数2位，小数0位	 	 integer i;						//循环变量  initial begin 	data_4Q2 = 0;				//输入赋初值	 	for(i=0;i<16;i=i+1)begin	//遍历所有的输入，共16个	 		data_4Q2 = i;						 		#5;  		$display("data_4Q2:%h		data_2Q0:%h",data_4Q2,data_2Q0); 	end 	#20 $stop();				//结束仿真 end  //例化被测试模块 test	test_inst( 	.data_4Q2	(data_4Q2),	 	.data_2Q0	(data_2Q0) );  endmodule 

同时，我们也用matlab来实现同样的功能，观察两者的输出是否一致：

%-------------------------------------------------- % 关闭无关内容 clear; close all; clc;  %------------------------------------------------------------------------------- % 生成数据并做convergent处理 x = -2:0.25:1.75; F = fimath('RoundingMethod','convergent');         	% 设定舍入模式为convergent %F_c = fimath('RoundingMethod','Convergent');      	% 设定舍入模式为convergent data_4Q2 = fi(x,1,4,2,F);                         	% 生成Q4.2格式的定点数 data_2Q0 = fi(data_4Q2,1,2,0,F);                  	% 从Q4.2格式转换成Q2.0格式 

下图是2者分别输出的数据（16进制），可以看到有2个数是对不上的：

你如果记性不错的话，就会发现这两个数正是前面讨论的正数会出现溢出的情况。这2个数分别是0110/0111，即10进制数1.5/1.75，它们的convergent结果应该是2。从上图来看，好像是matlab错了，而RTL对了，但实际情况恰恰相反。现在想想结果是什么格式的？Q2.0！它能表示的最大的数是多少？是10进制的1！所以结果溢出了！

那为什么RTL的结果又 ”对“ 了呢？这纯属是乌龙。因为打印结果是16进制的，并不表示10进制数值，结合结果的2位位宽，可知 ”2“，实际上就是10，它是01的溢出产生的，这个数在Q2.0格式的定点数中并不表示 ”数字2“，而是数字 ”-1“。

matlab是有溢出处理进制的（saturate），它把溢出值把都饱和在了最大值，即01（10进制的1），所以为了防止这种情况的发生，我们也要设计对应的溢出处理机制。因为负数的最小值只取决于整数（小数部分是正的权重），而正数的最大值同时取决于小数和整数，例如Q4.2格式的最小值是-2即10_00，而最大值则是1.75即01_11，所以溢出只会是正向的溢出，那么就只要限定最大值即可。把Verilog代码改一下：

module test(     input	[3:0]	data_4Q2,				//有符号数，符号1位，字长4位，小数2位	     output	[1:0]	data_2Q0				//有符号数，符号1位，字长2位，小数0位	 );  wire	carry; wire	[2:0]	data_temp;					//扩展1bit，防止溢出  assign	carry = (data_4Q2[1] && ~data_4Q2[0]) ? data_4Q2[2] : data_4Q2[1];	 assign	data_temp = {data_4Q2[3],data_4Q2[3:2]} + {2'b00,carry};		//中间变量，舍弃低位（即整个小数部分）后再加进位     assign	data_2Q0 = (data_temp[2:1]==2'b01) ? 2'b01 : data_temp[1:0];	//data_2Q0的高2位为01说明产生了正向的进位，即溢出 			 endmodule 

这样结果就是正确的了：

定点数从Q4.2格式转Q2.0格式是一个比较特殊的例子，因为它相当于把小数部分全部舍弃掉了，如果舍入要求不是全部小数位，而是部分小数位，那么处理方式是一样的吗？

是一样的。对于其他情况则相当于把小数点移动到了对应的位置。例如Q5.3格式的定点数转Q3.1格式，则只需要把最后两位小数舍弃并加上进位即可即可。