【数据结构】哈希

文章目录

• 1. 哈希概念
• 2. 哈希冲突
• 3. 哈希函数
• 4. 哈希冲突解决
• • 4.1 闭散列
  • 4.2 开散列

unordered 系列的关联式容器之所以效率比较高，是因为其底层使用了哈希结构。

1. 哈希概念

顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为 O(N)，平衡树中为树的高度，即 O($lo{g}_{2}N$)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。

如果构造一种存储结构，通过某种函数（hashFunc）使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。

当向该结构中：

• 插入元素

  根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置，并按此位置进行存放；

• 搜索元素

  对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当作元素的存储位置，在结构中按此位置取元素比较，若关键码相等，则搜索成功。

该方式即为哈希（散列）方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希（散列）函数，构造出来的结构称为哈希表（Hash Table）（或者散列表）。

例如：数据集合 { 1, 7, 6, 4, 5, 9 }；

哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity 为存储元素底层空间总的大小。

用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较，因此搜索的速度比较快。

问题：按照上述哈希方式，向集合中插入元素 44，会出现什么问题？

2. 哈希冲突

对于两个数据元素的关键字 $k_i$ 和 $k_j$（i != j），有 $k_i$ != $k_j$，但有：Hash($k_i$) == Hash($k_j$)，即：不同关键字通过相同哈希函数计算出相同的哈希地址，这种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。

把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

发生哈希冲突该如何处理呢？

3. 哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。

哈希函数设计原则：

• 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有 m 个地址时，其值域必须在 0 到 m - 1 之间；
• 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中；
• 哈希函数应该比较简单。

常见哈希函数：

1. 直接定址法（常用）

   取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash (Key) = A * Key + B；
   优点：简单、均匀
   缺点：需要事先知道关键字的分布情况；
   使用场景：适合查找比较小且连续的情况。

2. 除留余数法（常用）

   设散列表中允许的地址数为 m，取一个不大于 m，但最接近或者等于 m 的质数 p 作为除数，按照哈希函数：Hash (Key) = Key % p (p <= m)，将关键码转换成哈希地址。

3. 平方取中法（了解）

   假设关键字为 1234，对它平方就是 1522756，抽取中间的 3 位 227 作为哈希地址；
   再比如关键字为 4321，对它平方就是 18671041，抽取中间的 3 位 671（或 710）作为哈希地址；
   平方取中法比较适合：不知道关键字的分布，而位数又不是很大的情况。

4. 折叠法（了解）

   折叠法是将关键字从左到右分割成位数相等的几部分（最后一部分位数可以短些），然后将这几部分叠加求和，并按照散列表表长，取后几位作为散列地址；
   折叠法适合事先不需要知道关键字的分布，适合关键字位数比较多的情况。

5. 随机数法（了解）

   选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即 Hash (Key) = random(Key)，其中 random 为随机数函数；
   通常应用于关键字长度不等时采用此法。

6. 数学分析法（了解）

   设有 n 个 d 位数，每一位可能有 r 种不同的符号，这 r 种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布比较均匀，每种符号出现的机会均等，在某些位上分布不均匀，只有某几种符号经常出现。可根据散列表的大小，选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。例如：

   

   假设要存储某家公司员工登记表，如果用手机号作为关键字，那么极有可能前 7 位都是相同的，那么我们可以选择后面的四位作为散列地址，如果这样的抽取工作还容易出现冲突，还可以对抽取出来的数字进行反转（如 1234 改成 4321）、右环移位（如 1234 改成 4123）、左环移位、前两数与后两数叠加（如 1234 改成 12+34=46）等方法；
   数字分析法通常适合处理关键字位数比较多的情况。

注意：哈希函数设计的越精妙，产生哈希冲突的可能性就越低，但是无法避免哈希冲突。

4. 哈希冲突解决

解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列。

4.1 闭散列

闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明哈希表中必然还有空位置，那么可以把 key 存放到冲突位置中的“下一个”空位置中去。那如何寻找下一个空位置呢？

1. 线性探测

   比如上面的场景：

   

   现在需要插入元素 44，先通过哈希函数计算哈希地址，hashAddr 为 4，因此 44 理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为 4 的元素，即发生哈希冲突。

   线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

   • 插入

     • 通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置；

     • 如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素。

       

   • 删除

     采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素会影响其他元素的搜索。比如删除元素 4，如果直接删除掉，44 查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。

     // 哈希表每个空间给个标记 // EMPTY此位置空， EXIST此位置已经有元素， DELETE元素已经删除 enum State { 	EMPTY, 	EXIST, 	DELETE }; 

2. 线性探测的实现

   // 注意：假如实现的哈希表中元素唯一，即key相同的元素不再进行插入 // 为了实现简单，此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起 template<class K, class V> class HashTable { 	struct Elem 	{ 		pair<K, V> _val; 		State _state; 	}; 	 public: 	HashTable(size_t capacity = 3) 		: _ht(capacity), _size(0) 	{ 		for (size_t i = 0; i < capacity; ++i) 			_ht[i]._state = EMPTY; 	} 	 	bool Insert(const pair<K, V>& val) 	{ 		// 检测哈希表底层空间是否充足 		// _CheckCapacity(); 		size_t hashAddr = HashFunc(key); 		// size_t startAddr = hashAddr; 		while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY) 		{ 			if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key) 				return false; 				 			hashAddr++; 			if (hashAddr == _ht.capacity()) 				hashAddr = 0; 			/* 			转一圈也没有找到，注意：动态哈希表，该种情况可以不用考虑，哈希表中元素个数到达一定的数量， 			哈希冲突概率会增大，需要扩容来降低哈希冲突，因此哈希表中元素是不会存满的 			if(hashAddr == startAddr) 				return false; 			*/ 		} 		 		// 插入元素 		_ht[hashAddr]._state = EXIST; 		_ht[hashAddr]._val = val; 		_size++; 		return true; 	} 	 	int Find(const K& key) 	{ 		size_t hashAddr = HashFunc(key); 		while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY) 		{ 			if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key) 				return hashAddr; 				 			hashAddr++; 		} 		return hashAddr; 	} 	 	bool Erase(const K & key) 	{ 		int index = Find(key); 		if (-1 != index) 		{ 			_ht[index]._state = DELETE; 			_size++; 			return true; 		} 		return false; 	} 	 	size_t Size()const; 	bool Empty() const; 	void Swap(HashTable<K, V, HF>& ht); 	 private: 	size_t HashFunc(const K& key) 	{ 		return key % _ht.capacity(); 	} 	 private: 	vector<Elem> _ht; 	size_t _size; }; 

   思考：哈希表什么情况下进行扩容？如何扩容？

   

   void CheckCapacity() { 	if (_size * 10 / _ht.capacity() >= 7) 	{ 		HashTable<K, V, HF> newHt(GetNextPrime(ht.capacity)); 		for (size_t i = 0; i < _ht.capacity(); ++i) 		{ 			if (_ht[i]._state == EXIST) 				newHt.Insert(_ht[i]._val); 		} 		Swap(newHt); 	} } 

   线性探测优点：实现非常简单；

   线性探测缺点：一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据“堆积”，即：不同关键码占据了可利用的空位置，使得寻找某关键码的位置需要多次比较，导致搜索效率降低，如何缓解？

3. 二次探测

   线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找，因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：$H_i$ = ( $H_0$ + $i^2$ ) % m。其中：i = 1, 2, 3…，$H_0$ 是通过散列函数 Hash(x) 对关键码 key 进行计算得到的位置，m 是表的大小。

   对于上面案例，如果要插入 44，产生冲突，使用二次探测解决后的情况为：

   

   研究表明：当表的长度为质数且表装载因子 a 不超过 0.5 时，新的表项一定能够插入。而且任何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置，就不会存在表满的问题。在搜索时可以不考虑表装满的情况，但在插入时必须确保表的装载因子 a 不超过 0.5，如果超出必须考虑增容。

因此：闭散列最大的缺陷就是空间利用率比较低，这也是哈希的缺陷。

4.2 开散列

1. 开散列的概念

   开散列法又叫链地址法（开链法），首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头节点存储在哈希表中。

   个人理解：哈希桶 = 顺序表 + 链表 + 哈希算法；

   

   

   从上图可以看出，开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。

2. 开散列实现

   template<class V> struct HashBucketNode { 	HashBucketNode(const V& data) 		: _pNext(nullptr), _data(data) 	{} 	HashBucketNode<V>* _pNext; 	V _data; };  // 本文所实现的哈希桶中key是唯一的 template<class V> class HashBucket { 	typedef HashBucketNode<V> Node; 	typedef Node* PNode; public: 	HashBucket(size_t capacity = 3) : _size(0) 	{ 		_ht.resize(GetNextPrime(capacity), nullptr); 	} 	 	// 哈希桶中的元素不能重复 	PNode* Insert(const V& data) 	{ 		// 确认是否需要扩容。。。 		// _CheckCapacity(); 		 		// 1. 计算元素所在的桶号 		size_t bucketNo = HashFunc(data); 		 		// 2. 检测该元素是否在桶中 		PNode pCur = _ht[bucketNo]; 		while (pCur) 		{ 			if (pCur->_data == data) 				return pCur; 			pCur = pCur->_pNext; 		} 		 		// 3. 插入新元素 		pCur = new Node(data); 		pCur->_pNext = _ht[bucketNo]; 		_ht[bucketNo] = pCur; 		_size++; 		return pCur; 	} 	 	// 删除哈希桶中为data的元素(data不会重复)，返回删除元素的下一个节点 	PNode* Erase(const V& data) 	{ 		size_t bucketNo = HashFunc(data); 		PNode pCur = _ht[bucketNo]; 		PNode pPrev = nullptr, pRet = nullptr; 		while (pCur) 		{ 			if (pCur->_data == data) 			{ 				if (pCur == _ht[bucketNo]) 					_ht[bucketNo] = pCur->_pNext; 				else 					pPrev->_pNext = pCur->_pNext; 					 				pRet = pCur->_pNext; 				delete pCur; 				_size--; 				return pRet; 			} 		} 		return nullptr; 	} 	 	PNode* Find(const V& data); 	size_t Size()const; 	bool Empty()const; 	void Clear(); 	bool BucketCount()const; 	void Swap(HashBucket<V, HF>& ht; 	~HashBucket(); 	 private: 	size_t HashFunc(const V& data) 	{ 		return data % _ht.capacity(); 	} 	 private: 	vector<PNode*> _ht; 	size_t _size; // 哈希表中有效元素的个数 }; 

3. 开散列增容

   桶的个数是一定的，随着元素的不断插入。每个桶中元素的个数不断增多，极端情况下，可能会导致一个桶中链表节点非常多，会影响哈希表的性能，因此在一定条件下需要对哈希表进行增容，那该条件怎么确认呢？开散列最好的情况是：每个哈希桶中刚好挂一个节点，再继续插入元素时，每一次都会发生哈希冲突，因此，在元素个数刚好等于桶的个数时，可以给哈希表增容。

   void _CheckCapacity() 	{ 		size_t bucketCount = BucketCount(); 		if (_size == bucketCount) 		{ 			HashBucket<V, HF> newHt(bucketCount); 			for (size_t bucketIdx = 0; bucketIdx < bucketCount; ++bucketIdx) 			{ 				PNode pCur = _ht[bucketIdx]; 				while (pCur) 				{ 					// 将该节点从原哈希表中拆出来 					_ht[bucketIdx] = pCur->_pNext; 					 					// 将该节点插入到新哈希表中 					size_t bucketNo = newHt.HashFunc(pCur->_data); 					pCur->_pNext = newHt._ht[bucketNo]; 					newHt._ht[bucketNo] = pCur; 					pCur = _ht[bucketIdx]; 				} 			} 			newHt._size = _size; 			this->Swap(newHt); 		} 	} 

4. 开散列的思考

   • 只能存储 key 为整型的元素，其他类型怎么解决？

     // 哈希函数采用除留余数法，被模的key必须要为整形才可以处理，此处提供将key转化为整形的方法 // 整形数据不需要转化 template<class T> class DefHashF { public: 	size_t operator()(const T& val) 	{ 		return val; 	} };  // key为字符串类型，需要将其转化为整形 class Str2Int { public: 	size_t operator()(const string& s) 	{ 		const char* str = s.c_str(); 		unsigned int seed = 131; // 31 131 1313 13131 131313 		unsigned int hash = 0; 		while (*str) 		{ 			hash = hash * seed + (*str++); 		} 		return (hash & 0x7FFFFFFF); 	} };  // 为了实现简单，此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起 template<class V, class HF> class HashBucket { 	// …… private: 	size_t HashFunc(const V& data) 	{ 		return HF()(data.first) % _ht.capacity(); 	} }; 

   • 除留余数法，最好模一个素数，如何每次快速取一个类似两倍关系的素数？

     size_t GetNextPrime(size_t prime) { 	const int PRIMECOUNT = 28; 	static const size_t primeList[PRIMECOUNT] = 	{ 	53ul, 97ul, 193ul, 389ul, 769ul, 	1543ul, 3079ul, 6151ul, 12289ul, 24593ul, 	49157ul, 98317ul, 196613ul, 393241ul, 786433ul, 	1572869ul, 3145739ul, 6291469ul, 12582917ul, 	25165843ul, 	50331653ul, 100663319ul, 201326611ul, 402653189ul, 	805306457ul, 	1610612741ul, 3221225473ul, 4294967291ul 	}; 	 	size_t i = 0; 	for (; i < PRIMECOUNT; ++i) 	{ 		if (primeList[i] > prime) 			return primeList[i]; 	} 	return primeList[i]; } 

5. 开散列与闭散列比较

   应用链地址法处理溢出，需要增设链接指针，似乎增加了存储开销。事实上：由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率，如二次探测法要求装载因子 a <= 0.7，而表项所占空间又比指针大得多，所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。