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一、打家劫舍III
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
父节点和子节点不能同时偷(因为是直接相连的房子)
dp[0]/dp[1]:分别代表该节点上不偷和偷的最大值
思路：在树形结构中，采用后序遍历，左右中的顺序，从下往上求每一个节点的最大价值。
如果该节点不偷,那么下一节点可以偷，也可以不偷，dp[0]=下一节点偷或不偷的最大值；
如果该节点偷，那么下一节点就不可以偷，dp[1]=root.val+left[0]+right[0];
代码：
class Solution { public int rob(TreeNode root) { int[] res=robTree(root); return Math.max(res[0],res[1]); } //递归函数 public int[] robTree(TreeNode root){ int[] result=new int[2]; //终止条件 if(root==null)return result; //单层递归逻辑 int[] left=robTree(root.left); int[] right=robTree(root.right); //该节点不偷 孩子节点就可以偷 result[0]=Math.max(left[0],left[1])+Math.max(right[0],right[1]); //该节点偷，孩子节点就不能偷 result[1]=root.val+left[0]+right[0]; return result; } }股票问题
二、买卖股票的最佳时机I(一次遍历/动态规划)
一次遍历(贪心)：
如果price[i]<minprice,更新minprice;
如果price[i]>=minprice,看price[i]-minprice是否大于maxprofit，大于的话就更新
代码：
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int minprice = Integer.MAX_VALUE; int maxprofit = 0; for (int i = 0; i < prices.length; i++) { if (prices[i] < minprice) { minprice = prices[i]; } else if (prices[i] - minprice > maxprofit) { maxprofit = prices[i] - minprice; } } return maxprofit; } }动态规划：
注意：题目要求是买入和卖出只能一次，也就是只能在某一天买入或者某一天卖出
1.dp[i][0/1]:0代表该天不持有股票，1代表该天持有股票。dp[i][0/1]:代表该天可以获得最大利润
2.递推公式：
2.1 dp[i][0]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天把股票卖了。
dp[i][0](第i天不持有股票)=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
2.2 dp[i][1]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天买入股票
dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
3.初始化：dp[0][0]:0 dp[0][1]:-prices;
4.遍历：从1开始到prices.length
代码：
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if(prices==null||prices.length==0)return 0; // dp[x][0]:第x天不持有股票;dp[x][1]:第x天持有股票 int[][] dp = new int[prices.length][2]; dp[0][0] = 0; dp[0][1] = -prices[0]; //注意dp[i][1]的递推公式 只能买入/卖出一次和每天买入/卖出的区别 for (int i = 1; i < prices.length; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], - prices[i]); } return Math.max(dp[prices.length - 1][0], dp[prices.length - 1][1]); } }三、买卖股票的最佳时机II(贪心/动态规划)
可以在某一天买入，同一天卖出。买入卖出允许多次。
贪心：如果prices[i]>prices[i-1] 直接加利润
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int sumProfit=0; for(int i=1;i<prices.length;i++){ if(prices[i]-prices[i-1]>0){ sumProfit+=prices[i]-prices[i-1]; } } return sumProfit; } }动态规划：
这个题和I的区别在于：上一道题只能一天买入，一天卖出。买入卖出的次数仅是1；而这一道题买入卖出的次数可以是多次。因此在状态方程上要发生变化
递推公式：
dp[i][0]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天把股票卖了。
dp[i][0](第i天不持有股票)=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][1]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天买入股票
dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
代码：
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length == 0) return 0; // 定义dp数组 int[][] dp = new int[prices.length][2]; // 初始化dp数组 dp[0][0] = 0;// 不占有股票 dp[0][1] = -prices[0];// 占有股票 for (int i = 1; i < prices.length; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]); } return Math.max(dp[prices.length - 1][0], dp[prices.length - 1][1]); } }四、买卖股票的最佳时机III（只可以买卖两次）
dp[prices.length][5]:dp数组的五个状态
不操作:dp[i][0]=dp[i-1][0];
第一次持有:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
第一次不持有:dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
第二次持有:dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
第二次不持有:dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
初始化：
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;
代码：
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { if (prices == null || prices.length == 0) return 0; // 只能买卖两次 dp五种状态 不操作 第一次持有 第一次不持有 第二次持有 第二次不持有 int[][] dp = new int[prices.length][5]; // dp数组初始化 dp[0][0] = 0; dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0; // 遍历数组 for (int i = 1; i < prices.length; i++) { dp[i][0] = dp[i - 1][0]; dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]); dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]); dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]); dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]); } return dp[prices.length-1][4]; } }五、买卖股票的最佳时机IV(k次交易)
从III找出规律来，两次交易，dp状态会有五次。k次交易，dp状态就会有2k+1次。
定义dp数组:dp[prices.length][2*k+1];
状态分别是：第一次不操作；第一次占有/第一次不占有；第二次占有/第二次不占有；.....；第k次占有/第k次不占有
dp数组初始化：
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; 第一次占有/不占有
dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0; 第二次占有/不占有
dp[0][2k-1]=-prices[0]; dp[0][2k]=0; 第k次占有/不占有
dp数组遍历：
不操作:dp[i][0]=dp[i-1][0];
第一次持有:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
第一次不持有:dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
第二次持有:dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
第二次不持有:dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
找规律:
等于0， =dp[i-1][0];
不等于0，并且是偶数：+prices[i];
不等于0，并且是奇数: -prices[i];
代码：
class Solution { public int maxProfit(int k, int[] prices) { if(prices==null||prices.length==0)return 0; //k次交易 定义dp数组 int[][] dp=new int[prices.length][1+2*k]; //初始化 dp[0][0]=0;//不操作 for(int i=1;i<1+2*k;i++){ if(i%2==0){ dp[0][i]=0; }else{ dp[0][i]=-prices[0]; } } //进行遍历dp数组 for(int i=1;i<prices.length;i++){ for(int j=0;j<1+2*k;j++){ if(j==0){ dp[i][0]=dp[i-1][0]; }else if(j%2!=0){ dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]); }else if(j%2==0){ dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]); } } } return dp[prices.length-1][1+2*k-1]; } }六、买卖股票的最佳时机(包含冷冻期)
冷冻期：在卖出股票后，无法在第二天在进行买入/卖出(冷冻期为一天)
dp[i][4]:四种状态 表示某一天某种状态下的最大利润
占有股票:dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][3]-prices[i],dp[i-1][1]-prices[i])
延续上一天占有股票的状态；冷冻期后的买入股票；不占有股票后的买入股票
不占有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
延续上一天不占股票的状态；上一天卖出股票
卖出股票:dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
上一天为占有股票
冷冻期:dp[i][3]=dp[i-1][2];
上一天为卖出股票
代码：
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { //剪枝？ if(prices==null||prices.length==0)return 0; /** 创建dp数组 0：持有股票 1:不持有股票 2:卖出股票 3:冷冻期 */ int[][] dp=new int[prices.length][4]; //初始化dp数组 dp[0][0]=-prices[0]; dp[0][1]=0; dp[0][2]=0; dp[0][3]=0; //遍历数组 for(int i=1;i<prices.length;i++){ //延续上一天占有股票的状态;不占有股票后的买入股票;冷冻期后的买入股票 dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][3]-prices[i])); //延续上一天的不持有股票;冷冻期后的不持有股票 dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]); //上一天持有股票 dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]; //上一天为卖出股票 dp[i][3]=dp[i-1][2]; } return Math.max(dp[prices.length-1][1],Math.max(dp[prices.length-1][2],dp[prices.length-1][3])); } }返回最大利润：要进行比较，因为最大利润可能出现在不持有股票/卖出股票/冷冻期三种情况中。
七、买卖股票的最佳时机含手续费
思路：其实跟II差不多，但是多了一个手续费，这里我们规定在每次卖出的时候需要付手续费。因为卖出肯定是买入之后的，就是买入卖出整个操作需要付手续费。
改变：在dp公式需要作出改变;
不占有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);
占有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
初始化：dp[0][0]=0;dp[0][1]=-prices[0];
代码：
class Solution { public int maxProfit(int[] prices, int fee) { //含有手续费 就会限制你进行买卖 int[][] dp=new int[prices.length][2]; //dp[i][0]:不占有股票 dp[i][1]:占有股票 买的时候扣手续费 dp[0][0]=0; dp[0][1]=0-prices[0]; //初始化dp数组 for(int i=1;i<prices.length;i++){ dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee); dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]); } return dp[prices.length-1][0]; } }买卖股票的最佳时机总结：
I:只能有一次买入/一次卖出
不持有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
持有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);
II:可以进行多次买入/卖出
不持有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
持有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
III:只能进行两次买入/卖出
状态分为五种：不操作；第一次占有/第一次不占有；第二次占有/第二次不占有
dp[i][0]=dp[i-1][0];
dp[i][1]=dp[i-1][0]-prices[i];
dp[i][2]=dp[i-1][1]+prices[i];
dp[i][3]=dp[i-1][2]-prices[i];
dp[i][4]=dp[i-1][3]+prices[i];
有规律的。
IV:只能进行k次买入/卖出
状态共有：2k+1次。
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]±prices[i]； j为偶数+；j为奇数-；
V:包含冰冻期
状态共有四种：
占有股票:dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i][3]-prices[i]))；
不占有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3])；
卖出股票:dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]；
冰冻期:dp[i][3]=dp[i-1][2];
VI:含有手续费
在II的基础上，添加手续费。每次在交易完成的时候要付出手续费，在卖出股票时候。
不持有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);
持有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
子序列问题:
八、最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4
思路：
1.dp[i]:表示从0到i,最长子序列的长度
2.dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
递推公式如何来的:根据dp[i]的含义,要找到nums[j]<nums[i]的元素，然后在dp[j]的基础上+1；
但是nums[j]不仅仅有一个，因此每次取dp[i],和dp[j]+1的较大的。
3.初始化：所有元素初始化为1
4.遍历顺序从1开始。双层for循环寻找nums[j]<nums[i]的元素,并且更新dp[i]
注意：最大值不是dp[nums.length-1],而是dp数组中的最大值。
代码：
class Solution { public int lengthOfLIS(int[] nums) { //定义dp数组 int[] dp=new int[nums.length]; //初始化 Arrays.fill(dp,1); //双层for循环遍历 int max=1; for(int i=1;i<nums.length;i++){ for(int j=0;j<i;j++){ if(nums[j]<nums[i]){ dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1); max=Math.max(max,dp[i]); } } } return max; } }九、最长连续递增序列(比较简单)
不需要双层for循环寻找比nums[i]小的元素了。因为题目要求子序列必须是连续的。
代码：
class Solution { public int findLengthOfLCIS(int[] nums) { int[] dp=new int[nums.length]; Arrays.fill(dp,1); int max=1; for(int i=1;i<nums.length;i++){ if(nums[i]>nums[i-1]){ dp[i]=dp[i-1]+1; max=Math.max(max,dp[i]); } } return max; } }十、最长重复子数组
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
思路：
1.dp[i][j]:遍历到i-1,j-1的最长公共子数组的长度
2.if(nums[i-1]==nums[j-0])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
3.初始化都为0，因为是从i-1,j-1(-1 -1开始的)。相当于多加了一行一列，这样就不用多用两个循环去初始化原本的第一行第一列。让所有工作交给遍历
4.从i和j分别从1,1开始到nums1.length,nums2.length;
代码：
class Solution { public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) { int len1=nums1.length; int len2=nums2.length; int max=0; int[][] dp=new int[len1+1][len2+1]; for(int i=1;i<=len1;i++){ for(int j=1;j<=len2;j++){ if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){ dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; max=Math.max(max,dp[i][j]); } } } return max; } }十一、最长公共子序列(和上一题类似也有不同)
不同：上一道题要求的是子数组是连续的，因此如果nums1[i]==nums2[j]的时候,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;况且只能由[i-1][j-1]而来;
而这一道题不要求序列是连续的，因此当text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1) 的时候，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；如果不相等的话，可以由dp[i-1][j]和dp[i][j-1]得到。
类似：和上一题一样，为了减少初始化时for循环的复杂，多加一行一列，dp[len1+1][len2+1]。
然后初始化由遍历帮助我们完成
代码：
class Solution { public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) { int len1=text1.length(); int len2=text2.length(); int[][] dp=new int[len1+1][len2+1]; int result=0; for(int i=1;i<=len1;i++){ for(int j=1;j<=len2;j++){ if(text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1)){ dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; }else{ dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } result=Math.max(result,dp[i][j]); } } printfDp(dp); return result; } public void printfDp(int[][] dp){ for(int[] arr:dp){ for(int i:arr){ System.out.print(i+" "); } System.out.println(""); } } }十二、最大子序和（贪心/动态规划）
贪心：
如果前面的值是负的，那么就不加(加上拖后腿)
如果前面的值是正的，再加(加上更大)
代码：
public int maxSubArray(int[] nums) { int result=Integer.MIN_VALUE; int count=0; for(int i=0;i<nums.length;i++){ count+=nums[i]; if(count>result)result=count; if(count<0)count=0; } return result; }动态规划：
1.dp[i]:从0->i,最大的子序列的和
2.if(dp[i-1]>0)dp[i]=dp[i-1]+nums[i];else dp[i]=nums[i]
3.初始化:dp[0]=nums[0];
4.从i=1开始遍历
十三、判断子序列(双指针/动态规划)
双指针：
定义slow，fast指针。slow指向s串，fast指向t串。如果fast遍历到末尾以及之前，slow也可以遍历到末尾，那么就包含。
代码：
class Solution { public boolean isSubsequence(String s, String t) { int sLen=s.length(); int tLen=t.length(); if(sLen>tLen)return false; int slow = 0; int fast = 0; while(fast<tLen){ if(slow==sLen)return true; else{ if(t.charAt(fast)==s.charAt(slow)){ slow++; } fast++; } } return slow==sLen; } }注意：如果是slow和fast同时到达末尾的话，那么while(fast<tLen)最后一次就没进去，但此时slow==sLen,就无法判断到。因此返回的时候应该写：return slow==sLen;
动态规划（类似于求最长公共子序列的长度）:
如果最长子序列的长度==s串的长度，那么就返回true。
class Solution { public boolean isSubsequence(String s, String t) { int sLen = s.length(); int tLen = t.length(); if (sLen > tLen) return false; // 定义dp数组 int[][] dp = new int[sLen + 1][tLen + 1]; // 遍历dp数组(初始化dp数组放到遍历中) int max = 0; for (int i = 1; i <= sLen; i++) { for (int j = 1; j <= tLen; j++) { if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; } else { dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]); } max = Math.max(dp[i][j], max); } } printfDp(dp); System.out.println(max); return max == sLen; } public void printfDp(int[][] dp){ for(int[] arr:dp){ for(int i:arr){ System.out.print(i+" "); } System.out.println(" "); } } 十四、不同的子序列(回溯法/动态规划)
回溯法：超时..
代码：
class Solution { StringBuilder sb = new StringBuilder(); int count = 0; public int numDistinct(String s, String t) { if(s.length()<t.length())return 0; backTracking(s, t, 0); return count; } public void backTracking(String s, String t, int startIndex) { // 终止条件 if (sb.toString().equals(t)) { count++; return; } if (startIndex >= s.length()) return; // 单层递归逻辑 for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) { sb.append(s.charAt(i)); backTracking(s, t, i + 1); sb.deleteCharAt(sb.length() - 1); } } }动态规划：
1.dp[i][j]:以i-1为结尾的s中有多少个以j-1为结尾的t (方便操作 不用初始化了)
2.递推公式(难以理解)
if(s.charAt(i)==t.charAt(j))dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+dp[i-1]dp[j];
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
如何理解：
当 s[i-1] 与 t[j-1] 不相等时
dp[i][j] = dp[i-1][j]- 解释：此时我们不能用
s[i-1]来匹配t[j-1]，所以只能看s[0...i-2]中有多少个t[0...j-1]的子序列。
当 s[i-1] 与 t[j-1] 相等时
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]- 解释：我们有两种选择：
- 用
s[i-1]来匹配t[j-1]：此时我们需要看s[0...i-2]中有多少个t[0...j-2]的子序列，这就是dp[i-1][j-1]。 - 不用
s[i-1]来匹配t[j-1]：此时我们需要看s[0...i-2]中有多少个t[0...j-1]的子序列，这就是dp[i-1][j]。
- 用
3.初始化：dp[i][0]=1;dp[0][j]=0;
4.遍历顺序 1 1
代码：
class Solution { public int numDistinct(String s, String t) { int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1]; for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) { for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) { if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; }else{ dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } } } return dp[s.length()][t.length()]; } }