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【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（四）
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前言
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算法入门刷题训练
题目AB37：最长上升子序列(一)
题目分析
描述
给定一个长度为 n 的数组 arr，求它的最长严格上升子序列的长度。
所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列。
我们定义一个序列是 严格上升 的，当且仅当该序列不存在两个下标 i 和 j 满足 i<j 且 arr i ≥ arr j.
这道题目与上一篇【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（三）中练习的连续子数组最大和有个不同就是，要求的子数组不是连续的。因此可以定义动态规划数组dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度。从而推导出递推公式：dp[i] = maxLength + 1，其中maxLength表示从下标0到i-1中dp数组最大值（最大的连续子序列的长度）。
理论准备
任何算法都有相对应的算法模板或者有规律的解题步骤。对于动态规划来讲，做DP相关的算法题要熟练掌握下面DP解题步骤，这样有助于在面对到各种各样的题目时能够提高解题效率：
DP解题步骤:
- 首先要确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？
- 根据确定好的dp数组，给出递推公式，也叫状态转移方程。
- 确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。
- 确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。
- 根据测试用例进行验证
题解
具体的解决方案如下：
- 首先确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？
// 这里使用一维dp // dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度 vector<int> dp(n); - 根据确定好的dp数组，给出递推公式。
// 根据题目分析得出了以下递推公式： // dp[i] = maxLength + 1，其中maxLength表示从下标0到i-1中dp数组最大值（当前值之前的最大的连续子序列的长度）。 int maxValue{}; // 求得从下标0到下标i-1中dp值的最大值 for(int j{};j<i;++j){ // 当当前值大于v[j]，才进行dp[j]的判断 if(v[i] > v[j]){ maxValue = max(maxValue,dp[j]); } } // 然后dp[i]就等于之前的最大的连续子序列的长度加上当前数值 dp[i] = maxValue + 1; - 确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。
// 根据dp[i]的定义，子序列的最短长度都是本身即1 vector<int> dp(n,1); - 确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。
// 本题从小到大遍历i for(int i{1};i<n;++i){ int maxValue{}; // 内部从小到大，从大到小都可以 for(int j{};j<i;++j){ if(v[i] > v[j]){ maxValue = max(maxValue,dp[j]); } } } 根据测试用例进行验证：选择所有的测试用例带入验证即可。
完整代码如下：
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<int> v(n); for(int i{};i<n;++i) cin >> v[i]; // dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度 vector<int> dp(n,1); int result{}; for(int i{1};i<n;++i){ int maxValue{}; for(int j{};j<i;++j){ if(v[i] > v[j]){ maxValue = max(maxValue,dp[j]); } } dp[i] = maxValue + 1; if(dp[i] > result) result = dp[i]; } cout << result << endl; return 0; } // 64 位输出请用 printf("%lld") // 64 位输出请用 printf("%lld") 当提交成功后，会展示如下界面，那么恭喜这道题目就通过了！
小结
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