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一、AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：● 它的左右子树都是AVL树 ● 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）
二、AVL树的实现
1.AVL树节点的定义
AVL树节点的定义：
template<class T> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode(const T& data) : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr) , _data(data), _bf(0) {} AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲 T _data; int _bf; // 该节点的平衡因子 };2.AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点 2. 调整节点的平衡因子
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { //插入相同值 return false; } } //找到cur所在位置 cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first > cur->_kv.first) { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否 //破坏了AVL树的平衡性 /* pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况： 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理 */ //更新平衡因子 while (parent) { if (parent->_left == cur) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; } if (parent->_bf == 0) { //二叉树高度没问题，更新结束 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) { //双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性 //二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡 //判断是右单旋还是左单旋还是双旋 //右单旋 if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { //... } //左单旋 else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { //... } //左右双旋 else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { //... } //右左双旋 else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { //... } } else { //理论上不会出现这种状况 assert(false); } } return true; }3.AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
/* 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子 树增加一层， 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有 右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点 的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解 */ void _RotateR(Node Parent) { // SubL: Parent的左孩子 // SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该 Node SubL = Parent->_Left; Node SubLR = SubL->_Right; // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子 Parent->_Left = SubLR; // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲 if (SubLR) SubLR->_Parent = Parent; // 60 作为 30的右孩子 SubL->_Right = Parent; // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲 Node Parent = Parent->_Parent; // 更新60的双亲 Parent->_Parent = SubL; // 更新30的双亲 SubL->_Parent = Parent; // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针 if (NULL == Parent) { _root = SubL; SubL->_Parent = NULL; } else { // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树 if (Parent->_Left == Parent) Parent->_Left = SubL; else Parent->_Right = SubL; } // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子 Parent->_bf = SubL->_bf = 0; }2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
//左单旋 void LNode(Node* parent) { /*if (parent == _root) { Node* pparent = nullptr; } else { Node* pparent = parent->_parent; }*/ Node* pparent = parent->_parent; Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_left = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (pparent) { subR->_parent = pparent; if (pparent->_left = parent) { pparent->_left = subR; } else { pparent->_right = subR; } } else { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } parent->_bf = subR->_bf = 0; }3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进 //行调整 void _RotateLR(Node Parent) { Node SubL = Parent->_Left; Node SubLR = SubL->_Right; // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节 点的平衡因子 int bf = SubLR->_bf; // 先对30进行左单旋 _RotateL(Parent->_Left); // 再对90进行右单旋 _RotateR(Parent); if (1 == bf) SubL->_bf = -1; else if (-1 == bf) Parent->_bf = 1; }4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
//右左双旋 void RLNode(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RNode(parent->_right); LNode(parent); if (bf == 1) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; } else if (bf == 0) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else { //理论没有该状况 assert(false); } }当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋2）Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL
当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
4.AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步： 1. 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 2. 验证其为平衡树 ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子) ● 节点的平衡因子是否计算正确int _size(Node* root) { return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1； } int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) { return 0; } return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1; } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; } int LeftHeight = _Height(root->_left); int RightHeight = _Height(root->_right); if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2) { return false; } //可以顺便再检查一下平衡因子 if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf) { cout << root->_kv.first << endl; return false; } return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); }三、AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。四、完结撒❀
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