【C++】AVL树（旋转、平衡因子）_业界新闻

发布时间:2024-07-13 20:33

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新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

AVL树的验证

AVL树的性能

完整代码

前言

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AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

解决方案：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。

插入的总体原则：

按照搜索树规则插入
更新插入节点的祖先节点的平衡因子。
如果插入在父亲左边，父亲的平衡因子--。
如果插入在父亲右边，父亲的平衡因子++。
父亲平衡因子==0，则父亲所在子树高度不变，不再继续往上更新，插入结束。
父亲平衡因子==1or-1，父亲所在子树高度变了，继续往上更新。
父亲平衡因子==2or-2，父亲所在子树已经不平衡了，需要旋转处理。

节点

插入

	bool Insert(const pair<K, V>& kv) 	{ 		if (_root == nullptr) 		{ 			_root = new Node(kv); 			return true; 		}  		Node* cur = _root; 		Node* parent = nullptr; 		while (cur) 		{ 			if (cur->_kv.first < kv.first) 			{ 				parent = cur; 				cur = cur->_right; 			} 			else if (cur->_kv.first > kv.first) 			{ 				parent = cur; 				cur = cur->_left; 			} 			else 			{ 				return false; 			} 		}  		cur = new Node(kv); 		if (parent->_kv.first > kv.first) 		{ 			parent->_left = cur; 		} 		else 		{ 			parent->_right = cur; 		} 		cur->_parent = parent;  		//更新平衡因子 		while (parent)  		{ 			if (cur == parent->_left) 			{ 				parent->_bf--; 			} 			else 			{ 				parent->_bf++; 			}  			if (parent->_bf == 0) 			{ 				//更新结束 				break; 			} 			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) 			{ 				//继续往上更新 				cur = parent; 				parent = parent->_parent; 			} 			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) 			{ 				//当前子树出问题了，需要旋转平衡一下  				break; 			} 			else 			{ 				//理论而言不可能出现该情况 				assert(false); 			} 		}   		return true; 	}

上面是插入的大体流程，旋转操作还未给出。

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

这里以抽象图进行分析，因为具体的情况有很多种，无法画出。
注意：a子树的情况必须是插入后会引发祖先节点的更新，而不是只是内部变化。如下图情况就不符合要求。
旋转流程：新节点插入在a树中，导致以60为根的二叉树不平衡。所以就要右单旋。
右单旋：把60的左子树高度减少，即把60取出来，让30的右子树变成60的左子树，再把以60为根的树变成30的右子树。30成为新的根。

	void RotateR(Node* parent) 	{ 		Node* subL = parent->_left; 		Node* subLR = subL->_right;  		parent->_left = subLR; 		if (subLR) //节点可能为空 			subLR->_parent = parent;  		subL->_right = parent; //旧父节点变成subL的右节点 		 		Node* ppNode = parent->_parent;  //该不平衡节点可能不是根节点，所以要找到它的父节点 		parent->_parent = subL;				  		if (parent == _root)   //如果该节点是根节点 		{ 			_root = subL;		 			_root->_parent = nullptr; 		} 		else  //不平衡节点只是一棵子树 		{ 			if (ppNode->_left == parent)  //如果旧父节点等于爷爷节点的左节点，新父节点为爷爷节点的左节点 			{ 				ppNode->_left = subL; 			} 			else 			{ 				ppNode->_right = subL; 			}  			subL->_parent = ppNode;	//新父节点指向爷爷节点。 		}  		parent->_bf = subL->_bf = 0;  //只需要修改这两个的平衡因子   	}

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

参考右单旋。

左单旋和右单旋的调用如下图：

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

单旋用在一边一直高的情况。双旋是先一边高再另一边高的情况。
双旋的的原理就是把折线变成直线，再像处理直线一样旋转。
双旋可以复用单旋，但双旋主要要搞清平衡因子的变化。

第一种情况：

双旋的结果：60的左边给了30的右边，60的右边给了90的左边，30和90分别成为60的左右，60成为根。

上图是插入b引起的旋转，当插入c时是第二种情况，如下图：

上面两种插入位置的不同，导致最终的平衡因子不同。

第三种情况：

h==0时，60就是新增节点，最终的平衡因子也不同。

	void RotateLR(Node* parent) 	{ 		Node* subL = parent->_left; 		Node* subLR = subL->_right;   		int bf = subLR->_bf;  //记录未旋转前subLR的平衡因子  		RotateL(parent->_left);   		RotateR(parent); 	 		if (bf == -1)  //如果bf为-1，即插入在subLR的左边 		{ 			subLR->_bf = 0; 			subL->_bf = 0; 			parent->_bf = 1; 		} 		else if (bf == 1) //插入在subLR的右边 		{ 			subLR->_bf = 0; 			subL->_bf = -1; 			parent->_bf = 0; 		} 		else if (bf == 0) 		{ 			subLR->_bf = 0; 			subL->_bf = 0; 			parent->_bf = 0; 		} 		else 		{ 			assert(false); 		} 	}

新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

参考左右双旋，注意，这里也要讨论那三种情况。

	void RotateRL(Node* parent) 	{ 		Node* subR = parent->_right; 		Node* subRL = subR->_left; 		int bf = subRL->_bf;  		RotateR(parent->_right); 		RotateL(parent);  		subRL->_bf = 0; 		if (bf == 1) 		{ 			subR->_bf = 0; 			parent->_bf = -1; 		} 		else if (bf == -1) 		{ 			parent->_bf = 0; 			subR->_bf = 1; 		} 		else 		{ 			parent->_bf = 0; 			subR->_bf = 0; 		} 	}

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树。如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
验证其为平衡树。每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子) 节点的平衡因子是否计算正确

因为root是私有的，又因为需要递归检查每棵子树是否平衡，所以可以写一个私有的_IsBalance方法，通过公有的IsBalance方法来调用。

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。红黑树在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优。

完整代码

template<class K, class V> struct AVLTreeNode { 	AVLTreeNode<K, V>* _left; 	AVLTreeNode<K, V>* _right; 	AVLTreeNode<K, V>* _parent; 	pair<K, V> _kv;  	int _bf;  	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) 		:_left(nullptr) 		, _right(nullptr) 		, _parent(nullptr) 		, _kv(kv) 		,_bf(0) 	{} };  template<class K, class V> class AVLTree { 	typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: 	bool Insert(const pair<K, V>& kv) 	{ 		if (_root == nullptr) 		{ 			_root = new Node(kv); 			return true; 		}  		Node* cur = _root; 		Node* parent = nullptr; 		while (cur) 		{ 			if (cur->_kv.first < kv.first) 			{ 				parent = cur; 				cur = cur->_right; 			} 			else if (cur->_kv.first > kv.first) 			{ 				parent = cur; 				cur = cur->_left; 			} 			else 			{ 				return false; 			} 		}  		cur = new Node(kv); 		if (parent->_kv.first > kv.first) 		{ 			parent->_left = cur; 		} 		else 		{ 			parent->_right = cur; 		} 		cur->_parent = parent;  		//更新平衡因子 		while (parent)  		{ 			if (cur == parent->_left) 			{ 				parent->_bf--; 			} 			else 			{ 				parent->_bf++; 			}  			if (parent->_bf == 0) 			{ 				//更新结束 				break; 			} 			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) 			{ 				//继续往上更新 				cur = parent; 				parent = parent->_parent; 			} 			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) 			{ 				//当前子树出问题了，需要旋转平衡一下 				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //左边高，右单旋 				{ 					RotateR(parent); 				} 				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右边高，左单旋 				{ 					RotateL(parent); 				} 				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) 				{  					RotateRL(parent); 				} 				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) 				{ 					RotateLR(parent);  				}  				break; 			} 			else 			{ 				//理论而言不可能出现该情况 				assert(false); 			} 		}   		return true; 	}  	Node* Find(const K& key) 	{ 		Node* cur = _root; 		while (cur) 		{ 			if (cur->_kv.first < key) 			{ 				cur = cur->_right; 			} 			else if (cur->_kv.first > key) 			{ 				cur = cur->_left; 			} 			else 			{ 				return cur; 			} 		} 		return nullptr; 	}  	void InOrder() 	{ 		_InOrder(_root); 		cout << endl; 	}  	void RotateR(Node* parent) 	{ 		Node* subL = parent->_left; 		Node* subLR = subL->_right;  		parent->_left = subLR; 		if (subLR) //节点可能为空 			subLR->_parent = parent;  		subL->_right = parent; //旧父节点变成subL的右节点 		 		Node* ppNode = parent->_parent;  //该不平衡节点可能不是根节点，所以要找到它的父节点 		parent->_parent = subL;				  		if (parent == _root)   //如果该节点是根节点 		{ 			_root = subL;		 			_root->_parent = nullptr; 		} 		else  //不平衡节点只是一棵子树 		{ 			if (ppNode->_left == parent)  //如果旧父节点等于爷爷节点的左节点，新父节点为爷爷节点的左节点 			{ 				ppNode->_left = subL; 			} 			else 			{ 				ppNode->_right = subL; 			} 			subL->_parent = ppNode;	//新父节点指向爷爷节点。 		} 		parent->_bf = subL->_bf = 0;  //只需要修改这两个的平衡因子 	}  	void RotateL(Node* parent) 	{ 		Node* subR = parent->_right; 		Node* subRL = subR->_left;  		parent->_right = subRL; 		if (subRL) 			subRL->_parent = parent;  		subR->_left = parent; 		Node* ppNode = parent->_parent;  		parent->_parent = subR;  		if (parent == _root) 		{ 			_root = subR; 			_root->_parent = nullptr; 		} 		else 		{ 			if (ppNode->_right == parent) 			{ 				ppNode->_right = subR; 			} 			else 			{ 				ppNode->_left = subR; 			} 			subR->_parent = ppNode; 		} 		parent->_bf = subR->_bf = 0; 	}  	void RotateRL(Node* parent) 	{ 		Node* subR = parent->_right; 		Node* subRL = subR->_left; 		int bf = subRL->_bf;  		RotateR(parent->_right); 		RotateL(parent);  		subRL->_bf = 0; 		if (bf == 1) 		{ 			subR->_bf = 0; 			parent->_bf = -1; 		} 		else if (bf == -1) 		{ 			parent->_bf = 0; 			subR->_bf = 1; 		} 		else 		{ 			parent->_bf = 0; 			subR->_bf = 0; 		} 	}  	void RotateLR(Node* parent) 	{ 		Node* subL = parent->_left; 		Node* subLR = subL->_right;   		int bf = subLR->_bf;  //记录未旋转前subLR的平衡因子  		RotateL(parent->_left);   		RotateR(parent); 	 		if (bf == -1)  //如果bf为-1，即插入在subLR的左边 		{ 			subLR->_bf = 0; 			subL->_bf = 0; 			parent->_bf = 1; 		} 		else if (bf == 1) //插入在subLR的右边 		{ 			subLR->_bf = 0; 			subL->_bf = -1; 			parent->_bf = 0; 		} 		else if (bf == 0) 		{ 			subLR->_bf = 0; 			subL->_bf = 0; 			parent->_bf = 0; 		} 		else 		{ 			assert(false); 		} 	} 	bool IsBalance() 	{ 		return _IsBalance(_root); 	}  	int Height() //树的高度 	{ 		return _Height(_root); 	}  	int Size()  //插入的节点个数 	{ 		return _Size(_root); 	}  private: 	int _Size(Node* root) 	{ 		return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1; 	}  	int _Height(Node* root) 	{ 		if (root == nullptr) 			return 0; 		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1; 	}  	bool _IsBalance(Node* root)  	{ 		if (root == nullptr)  			return true; 		 		int	leftHeight = _Height(root->_left); 		int	rightHeight = _Height(root->_right); 		//如果不平衡 		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2) 		{ 			cout << root->_kv.first << endl; 			return false; 		}  		//检查平衡因子是否正确 		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) 		{ 			cout << root->_kv.first << endl; 			return false; 		}  		return _IsBalance(root->_left) 			&& _IsBalance(root->_right); 	} 	 	 	void _InOrder(Node* root) 	{ 		if (root == nullptr) 			return;  		_InOrder(root->_left); 		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; 		_InOrder(root->_right); 	}  private: 	Node* _root=nullptr;  };  void AVLTreeTest1() { 	//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 }; 	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }; 	AVLTree<int,int> t1; 	for (auto e : a) 	{ 		t1.Insert({e,e});  		cout <<"Insert:"<<e<<"->"<< t1.IsBalance() << endl; 	}  	t1.InOrder();	  	cout << t1.IsBalance() << endl; }