自动控制中的泛函分析（一）

说明：本系列博客是基于自动控制中的泛函分析课程笔记所构成，结合课下所进行的自主学习加以丰富，同时以实际的工程应用等任务为牵引，不注重数学理论本身，而主要关注数学理论所对应的工程应用。借用老师的一句话，能够站在更高的平台上看问题，视野才能更开阔。系列博客将被分到自动控制相关专栏，有兴趣的可以持续关注，博文也将随着课程持续更新。

先导篇：基础理论回顾 课堂笔记

课下总结 主要概念

在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。.研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。广泛应用于数学物理方程，统计（与Markou随机过程的理论研究）等许多相关学科领域。

泛函分析的主要内容

在泛函分析，将有限维向量空间的概念推广到一般线性空间，包括由函数类形成的无限维线性空间。然后是定义了距离的标准，称之为度量空间。引入内积空间，类似欧式空间上向量的标量积，从而介绍向量间的夹角，向量直交等。对各种抽象空间的研究是泛函分析的研究内容之一。

在泛函分析中，还要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上的算子理论，特别是赋范线性空间上的算子来描述。算子理论是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续型，有界性，紧性和闭性等。算子方程求解，线性算子的能解性研究，给各种代数方程和微分方程求解，以及控制系统综合等，提供了理论基础。对偶空间和伴随算子的研究室算子理论的一个主要组成部分。在算子理论中，还要把矩阵特征值的概念推广到一般线性算子的谱特性。

因为控制理论中几乎所有的问题都可以用泛函分析中有关空间和算子来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决问题的途径。例如，利用对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎有所得对偶定理，而这些定理的发现，大多数是数学结论直接演绎的结果。控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析，系统综合、建模和优化。系统分析包括系统稳定性分析，能控能观性分析，鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的特性。传统的分析方法是实用的，但是只限定于某些特定的系统类型，例如传统的频域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。而泛函分析提供的分析方法，可能对包含多输入多输出的线性时变系统、分布参数线性系统，以及某些类型的非线性系统进行统一的处理，从而获得更一般的结论。系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题，传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾向于构造能用计算机实现的某种算法。迭代算法或者递推算法的收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具才有可能使问题得以解决。系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围的问题。